Tài liệu Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác-Nguyễn Minh Nhiên doc

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trong các đề thi đại học những năm gần đây , đa số các bài toán về giải phương trình lượng giác đều
rơi vào một trong hai dạng :phương trình đưa về dạng tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu . Nhằm
giúp các bạn ôn thi có kết quả tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số kĩ năng quan trọng của dạng
toán đó
I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
1, Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích
, công thức hạ bậc ,…
Bài 1. Giải phương trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)
Giải
       
 
1 sin6x sin x sin5x sin 2x sin 4x sin3x 0
7x 5x x 3x 7x 3x
2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cosx+1 0
2 2 2 2 2 2
k2
7x
x
sin 0
7
2
3x k2
cos 0 x ;k Z
2 3 3
2cosx+1 0
2
x k2
3
      
 
 
     
 
 
 
 









 


     








   




*Lưu ý : Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu
các góc bằng nhau
Bài 2 . Giải phương trình :
3 3
2 3 2
cos3xcos x sin3xsin x
8

 
(2)
Giải
     
   
   
2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 3 2
2 cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x
2 2 8
2 3 2 2 3 2
cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x cos4x cos 2x
4 4
2 k
4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x k Z
2 16 2

    
 
       
 
           
*Lưu ý : Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng công
thức nhân 3
Bài 3 . Giải phương trình :
2 2
2cos 2x 3cos4x 4cos x 1
4

 
   
 
 
(3)
Giải
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
 
 
2 2
3 1 cos 4x 3cos4x 4cos x 1 sin4x 3cos4x 2 2cos x 1
2
x k
1 3
12
sin 4x cos4x cos2x cos 4x cos2x ,k Z
k
2 2 6
x
36 3

 
         
 
 


  


 
       

 
 
 

 


2,Phương trình sử dụng một số biến đổi khác
Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử
chung nhanh nhất , sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó
       
   
 
 
2 2
2
2
sin x 1 cosx 1 cosx , cos x 1 sin x 1 sin x
cos2x cosx sin x cosx sin x
1 cos2x sin 2x 2cosx(sin x cosx)
1 sin2x sin x cosx
1 cos2x sin 2x 2sin x(sin x cosx)
1 sin 2x sin x cosx
sin x cosx
1 tan x
cosx
2 sin x
      
  
   
   
   
  

  
 sin x cosx
4

 
  
 
 
Bài 4 . Giải phương trình :
2sin x(1 cos2x) sin 2x 1 2cosx   
(4)
Giải
Cách 1 :
     
2
4 2sin x2cos x 2sin xcosx 1 2cosx 2cosx 1 2sin x cosx 1 0       
1
cosx
2
sin 2x 1

 





phần còn lại dành cho bạn đọc
Cách 2 :
 
4 2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cosx sin x) 0     
       
2
2sin x cosx sin x cosx sin x cosx sin x 2 cos x sin x 0       
 
 
2
cosx sin x 2sin xcosx 2sin x cosx sin x 2 0      
 
 
2
cosx sin x 2sin xcosx 2cos x cos x sin x 0     
phần còn lại dành cho bạn đọc
Bài 5 .Giải phương trình :
cos2x 3sin 2x 5sin x 3cos x 3   
(5)
Giải
 
2
5 (6sin xcosx 3cosx) (2sin x 5sin x 2) 0
3cosx(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0
(2sin x 1)(3cosx sin x 2) 0
     
     
    
Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản ( dành cho bạn đọc )
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm , điều quan trọng nhất của dạng này
là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại
nghiệm.
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
Ngoài ra , ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan , cot . Khi đó , có thể sử dụng một số công thức
   
   
sin a b sin b a
tana tanb cota cotb=
cosa cosb cosa cosb
cos a b cos a b
tana cot b tana-cotb=
cosasin b cosasin b
2
tana cota c
sin 2a
 
    
  
   
   
   
ota tana 2cot 2a
cos a b cos a b
1 tana tan b 1 tana tanb
cosa cosb cosa cosb
 
  
     
Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức
Bài 6 . Giải phương trình :
2cos4x
cot x tan x
sin 2x
 
(6)
Giải .
ĐK :
sin x 0
k
cosx 0 sin 2x 0 x ,k Z
2
sin 2x 0




     




 
x l
2cos4x 2cos2x 2cos4x
6 cot x tan x cos4x cos2x ,l Z
l
sin 2x sin 2x sin 2x
x
3
 


        




Kiểm tra điều kiện ta được
x l ,l Z
3

    
Bài 7 . Giải phương trình :
   
3 2
2
4cos x 2cos x 2sin x 1 sin2x 2 sin x cosx
0
2sin x 1
    


(7)
Giải .
ĐK :
2
k
2sin x 1 0 cos2x 0 x ,k Z
4 2
 
       
       
     
2
7 4cos x sin x cosx 2cos x sin x cosx 2 sin x cosx 0
x m
4
2 sin x cosx cosx 1 2cosx 1 0 x m2 ,m Z
2
x m2
3
      


   


        



   


Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm
m2
x ,m Z
3

 
Bài 8. Giải phương trình :
2
3tan3x cot 2x 2tan x
sin 4x
  
(8)
Giải
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
ĐK :
cos3x 0
k
x
sin2x 0
6 3
,k Z
cosx 0
k
x
4
sin 4x 0


 

 



 
 
 


 






(*)
     
 
2 2sin 2x cosx 2
8 2 tan3x tan x tan3x cot 2x
sin 4x cos3xcosx cos3xsin 2x sin 4x
4sin 4xsin x 2cos2x cosx 2cos3x 4sin 4xsin x cos3x cosx 2cos3x
4sin 4xsin x cos3x cosx 8sin 2xcos2xsin x 2sin 2xsin x do (*)
cos2x
       
      
     
 
1 1 1
x arccos m ,m Z
4 2 4

 
      
 
 
nghiệm này thoả mãn ĐK
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
2
3
1,cos3x cos2x cosx 1 0
2, 2 2 sin x cosx 1
12
3,(1 tan x)(1 sin2x) 1 tan x
1 1
4,sin2x sin x 2cot 2x
sin 2x 2sin x
5,sin 2x cos2x 3sin x cosx 2 0
x
6,tan x cosx cos x sin x 1 tan xtan
2
7,2 2cos x 3cosx si
4
   

 
 
 
 
   
   
    
 
   
 
 

 
  
 
 
 
3 3
2 2
2
n x 0
2 cosx sin x
1
8,
tan x cot 2x cot x 1
1
9,cosxcos2xcos3x sin xsin 2xsin3x
2
10,sin x cos x cos2x tan x tan x
4 4
11,tan x tan2x sin3xcos2x
x 7
12,sin x cos4x sin 2x 4sin
4 2 2
x x
13,sin sin x cos sin
2 2



 
 
 
   
   
   
   
  

 
   
 
 

 
2
2
2 3 3 2
x
x 1 2cos
4 2
14,2sin x cot x 2sin 2x 1
sin 3x
15,sin x cos3xsin x sin3x cos x sin xsin 3x
3sin 4x

 
  
 
 
  
  