Bài giảng PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm:
( )
; ;M x y z OM xi y j zk⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ:
( )
; ;u x y z u xi y j zk= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
Cho
( )
; ;u x y z=
r

( )
' '; '; 'u x y z=
ur
' { '; '; '}u u x x y y z z= ⇔ = = =
r ur
( )
' '; '; 'u u x x y y z z± = ± ± ±
r ur
( )
; ;ku kx ky kz=
r
4. Tích vô hướng:
. ' . ' . ' . 'u u x x y y z z= + +
r ur
. 0u v u v= ⇔ ⊥
r r r r
5. TÍCH HỮU HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Công thức tích có hướng
Cho
( )
; ;u x y z=
r

( )
' '; '; 'u x y z=
ur
;
' ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
∧ = = − − −
 ÷
 
r ur
Nhận xét:
+)
;u v
r r
cùng phương thì
( )
0 0;0;0u v∧ = =
r r r

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
0AB AC∧ =
uuur uuur r
+)
u v v u∧ = − ∧
r r r r
+)
( ); ( )u u v v u v⊥ ∧ ⊥ ∧
r r r r r r
6. SD TÍCH HỮU HƯỚNG ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH:
+) Vectơ tích hữu hướng
,c a b
 
=
 
r r r
vuông góc vơi hai vectơ
a
r

b
r
.
+)
, sin( , )a b a b a b
 
=
 
r r r r r r
. +)
1
[ , ]
2
ABC
S AB AC=
uuur uuur
.
+) V
HộpABCDA’B’C’D’
=
[ , ]. 'AB AD AA
uuur uuur uuur
. +) V
Tứdiện ABCD =
1
[ , ].
6
AB AC AD
uuur uuur uuur
.
7. Các công thức tính độ dài và góc
+)
2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
+)
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '
u u xx yy zz
u u
u u
x y z x y z
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
BÀI TẬP
Bài 1. Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ sau:
, , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA= − −
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
.
b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm tọa độ của M, N, P, Q.
c) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng G tâm của ∆ABC.
d) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tính diện tích của hình bình hành
ABCE.
e) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
f) Tính tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng của tứ diện ABCD.
g) Tìm côsin góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
h) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D.
i) Tìm tọa độ của điểm K nằm trên trục Oz để ∆ADK vuông tại K.
Bài 2. Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −
.
a) Tìm tọa độ hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ, trên các mặt tọa độ.
b) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các mp tọa độ.
c) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các trục tọa độ.
d) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ.
e) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C −
.
a) CMr: ∆ABC vuông tại B.
b) Tính diện tích của ∆ABC .
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1A B C
. Tính các góc của ∆ABC .
Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1A B C D− −
.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật
b) Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó.
c) Tính côsin của góc giữa hai vectơ
AC
uuur

BD
uuur
.
Bài 7. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A− − − −
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
c) Tính thể tích V của hình hộp.
d) Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 8. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D− − −
a) CMr: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
1. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
2. Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
b) Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3),
C’(1;2;3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Tính thể tích hình hộp.
Bài 10 : Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C −
.
a) CMr: ∆ABC vng tại B.
b) Tính diện tích của ∆ABC .
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 11/ Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A− − − −
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Tính diện tích tồn phần của hình hộp.
c) Tính thể tích V của hình hộp.
d) Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 2: MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x
2
+y
2
+z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, (2)
đk: A
2
+ B
2
+ C
2
- D >0 (*)
Tâm I
1
(-A; -B; -C) và bán kính R
1
=
2 2 2
A B C D+ + −
2. Chú ý:
a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
b) Mặt cầu có đường kính AB thì R =
1
2
AB
và tâm I là trung điểm AB
c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng
điểm vào phương trình và giải hệ để tìm A, B, C, D.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
-6x +4y -2z - 86 = 0
b) x
2
+y
2
+z
2
+3x + 4y - 5z +6 = 0
c) x
2
+y
2
+z
2
-6x + 4y + 2z - 11 = 0
d) (x - 1)
2
+(y +3 )
2
+(z - 2)
2
= 49
e) x
2
+y
2
+z
2
-2x +2z - 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: ( TN03-04)Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi
A’ là hình chiếu của A lên Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp (Oxy)
Bài 5: Viết phương trình mặt cầu
a/ đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).
b/ đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
c/ đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
Bài 3 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C=
r
( là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x -x
0
) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
2. Chú ý:
 Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a.VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
b. Nếu điểm M(x
1
; y
1
; z
1
)

(P) thì Ax
1
+By
1
+Cz
1
+D=0
 Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương
; 'u u
r ur

giá song song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là:
'n u u= ∧
r r ur
3. Các trường hợp đặc biệt:
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp song song với các mặt tọa độ:
song song với (Oxy): Cz + D = 0,
song song với (Oyz): Ax + D = 0 ,
song song với (Oxz): By + D = 0
c) Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ:
song song với Ox: By + Cz + D = 0
song song với Oy: Ax + Cz + D = 0
song song với Oz: Ax + By + D = 0
chứa trục Ox: By + Cz = 0
chứa trục Oy: Ax + Cz = 0
chứa trục Oz: Ax + By = 0
d) Mp chứa gốc tọa độ O(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
e) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với a.b.c

0 có p/trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Bài tập:
Bài 1. Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ
(1; 1;5)n −
r
làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là
(1;2; 1), (2; 1;3)a b− −
r
r
c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e) Viết phương trình mp (ABC)
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1).
b) (
α
) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3).
Bài 3. Trong không gian cho A(−1;2;1),
OB j k= +
uuur r r
,
4OC i k= +
uuur r r
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
Bài 7. Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
Bài 8. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục
toạ độ.
Bài 9. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ
độ.
Bài 10. ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1),
B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
Bài 11. ( ĐH kB năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0
1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y - 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2; 3;
-7)
Bài 12. Trong kg Oxyz, cho M(1;−3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (α) qua M và có VTPT
( )
2; 1;1n = −
r
.
b) Viết pt mặt phẳng (β) qua M và vtpt của mp (β) vuông góc với 2 véctơ
( )
1
1;0; 2u = −
ur

( )
2
1; 3;4u = − −
uur
.
Bài 13. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(−1;0;2), C(1;−3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (ABC).
b) Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c) Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d) Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e) Gọi A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp (P) qua A
1
, A
2
, A
3
.
Bài 14. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −
.
a) CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Tìm M sao cho
2 3AM BA CM+ =
uuuur uuur uuuur
.
d) Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 15. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mặt phẳng (α):
2 3 4 2 0x y z+ − − =
.
a) Viết pt mp (β) qua A và song song với mặt phẳng (α).
b) Viết pt mp
( )
γ
qua OA và vuông góc với mặt phẳng (α).
Bài 16. Trong kg Oxyz, cho A(−1;1;2), B(0;−1;3) và mặt phẳng
(α):
3 2 4 0x y z− + + =
. Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (α).
Bài 17. Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Viết pt mặt phẳng (α) qua A, song song Oy và vuông góc với
mặt phẳng (β):
3 4 6 0x y z− + + =
Bài 18. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (α): x - 2y + 3z -5 = 0. Viết pt mặt phẳng
(β) qua A, B và (β) ⊥(α).
Bài 19. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2; -1;
3).
a.Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
b. CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c.Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó .
e.Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
f.Tính góc giữa các vectơ
AC
uuur

BD
uuur
.
Bài 20. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a.Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c.Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x - 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e.Tính S
∆ABC
.
f.Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính V
ABCD
.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 21. Trong k/gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1; -2).
a.Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
c.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e.Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f.Tính góc giữa AB và CD.
Bài 22. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mp
( ) : 2 2 5 0x y z
α
− − − =
.
a. Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
song song với mặt phẳng
( )
α
và cách
( )
α
một khoảng bằng
5.
b. Viết phương trình mặt phẳng
( )
γ
đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
( )
α
.
c. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 23. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x - 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e. Tính S
∆ABC
.
f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính V
ABCD
.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 24. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D− − −
a/ CMr: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b/ Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là
( )
( ; ; ); ' '; '; 'n A B C n A B C= =
r ur
1. (P) // (P’)
( ) ( )
; ; '; '; '
'
' '
A B C k A B C
n kn
D kD D kD

=
=
 
⇔ ⇔
 
≠ ≠
 
 
r ur
2.
( ) ( )
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
' '
A B C k A B C
n kn
P P
D kD D kD

=
=
 
≡ ⇔ ⇔
 
= =
 
 
r ur
3. (P) cắt (P’)
( ) ( )
' ; ; '; '; 'n kn A B C A B C⇔ ≠ ⇔ ≠
r ur
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0
'n n⇔ ⊥ ⇔
r r
hai mặt phẳng vuông góc

Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
1. Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận
( ; ; )n A B C=
r
là VTPT
2. Nếu
( ) ( )
'P P⊥
thì (P’) chứa hoặc chứa
( ; ; )n A B C=
r

Bài tập:
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3z+1=0.
b) (
α
) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3y + 2z - 1=0.
c) (
α
) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (
β
): 2x + y - 2z+4=0
d) (
α
) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (
β
): 4x + y - z+1=0.
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng (
β
):2x−y+3z+1=0.
b) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;3 , 5;2;3A B−
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
2 0x y z+ − =
c) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;1 , 1;2;4A B
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 0x z− + =
d) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;2 , 1; 2;3A B− −
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 2 6 0x y+ − =
3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x - y + 2z + 1
= 0
4. (TN 06 - 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y - 2z - 4 = 0. Viết
mp(Q) qua M và song song với (P)
5. (CĐ 08 - 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
) : x + 2y + 3z + 4
= 0 và (P
2
) : 3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1),
vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với
nhau
a) 2x + my + 3z - 5 = 0 và nx - 8y - 6z +2 = 0
b) 3x - 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx - 3y - 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vectơ pháp tuyến
( )

r ur
n= A;B;C 0
của mặt phẳng (α):
(α):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x- x +B y - y +C z-z =0
(1)
Hay:
Ax+By+Cz+D=0
Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến:

r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). Thay các kết quả vào (1).
Loại 3: (α) đi qua A(x
A
;y
A
;z
A
) và song song với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D=0
* (α) có dạng
Ax+By+Cz+m=0
,
( )
α
uur uur
β
n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )
A A A
m, m=- Ax +By +Cz
.
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D=0
,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có
α

uur uuur uur
β
n =MN n
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1).
III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
Loại 1 : Khoảng cách từ M (x
M
;y
M
;z
M
) đến mặt phẳng (α):
Ax+By+Cz+D=0
:
( )
α
M M M
2 2 2
Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng
này, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mặt phẳng kia.
Loại 3: Khoảng cách giữa đường thẳng

và mp(β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên đường
thẳng

, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mặt phẳng (β).
Loại 4: Khoảng cách giữa đường thẳng


'∆
chéo nhau:
B1: Lập phương trình mp(Q) chứa
'∆
và song song

B2: Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng

, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mp(Q).
Hoặc ta có thể làm ngược lại
Bài tập:
1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x - y + 2z - 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x - 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y - 11 = 0
2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x +
2y + 2z + 2 = 0
3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình(P): 2x - 3y + 6z + 19
= 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng
(P). Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
4. Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (
α
): 2x+y−2z+2=0 bằng
2
3
. ĐS:
m=±1
5. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD
6. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình
chóp A.BCD
7. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8. ( TN năm 07 - 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có
phương trình: 2x - 2y + z - 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P). Viết phương trình của
mp(Q) sao cho (Q)//(P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
9. (TN năm 08 - 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ (y -2)
2
+ (z -2)
2
= 36 và
mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Xác định tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính
khoảng cách từ T đến (P).
10. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình
chóp A.BCD
11. (ĐH - khối B - 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3),
C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ
C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn: có 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z - 15 = 0
(P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z - 5 = 0)
12. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tính thể
tích tứ diện ABCD.
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các
đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này.
b) Tìm tọa độ điểm B’. Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước


Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến
mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết
phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương
trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 - 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y - 2z +6 = 0.Viết phương trình
mặt cầu tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α).
18.(Khối B - năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0;
-3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu
có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: