Bài tập phương trình lương giác

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Bài tập phương trình lương giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
2
1) sin sin
2
2)cos cos 2 ,
u v k
u v k
u v k
u v u v k k
π
π π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= ⇔ = ± + ∈
¢
¢
3) tan tan ,
4) t t ,
u v u v k k
co u co v u v k k
π
π
= ⇔ = + ∈
= ⇔ = + ∈
¢
¢
II. Một số phương tình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc hai theo một hàm số lương giác
Dạng:
a) asin
2
x + bsinx + c = 0
b) acos
2
x + bcosx + c = 0 (a

0)
c) atan
2
x + btanx + c = 0
d) acot
2
x + bcotx + c = 0
Cách giải
Đặt ẩn số phụ cho HSLG để đưa về phương trình
bậc hai một ẳn.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x – sinx – 1 = 0
2) 2cos
2
x - 5cosx – 3 = 0
3) 2sin
2
x – 3cosx = 0
4) sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
= 0
5) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0
6) cos4x = cos
2
x
2. Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng: asinx + bcosx = c
Cách giải: chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin cos
1
a b c
x x
a b a b a b
a b
do
a b a b
+ =
+ + +
   
+ =
 ÷  ÷
+ +
   
Nên đặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b
α
α

=

+



=

+

(hoặc ngược
lại)
Ta được phương trình:
( )
2 2
2 2
os sin sin cos
sin
c
c x x
a b
c
x
a b
α α
α
+ =
+
⇔ + =
+

Ta đươc PT bậc nhất theo 1 hslg.
Ví dụ: Giải các phương trình:
( )
( ) ( )
( )
2
3
1) 3 sin cos 1
2) 2 cos2 2 sin 3
3)2sin 3 sin 2 3
4)3cos2 4sin 2 5
5)1 sin cos sin cos 0
6) 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0 ( 2009)
1 2sin cos
7) 3 ( 2009)
1 2sin 1 sin
8)sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sin (
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x dh D
x x
dh A
x x
x x x x x x
+ =
+ =
+ =
+ =
+ + + =
− − = −

= −
+ −
+ + = +
2
2009)
3 1
9) 3 sin cos
2cos
cos 2sin cos
10) 3
2cos sin 1
dh B
x x
x
x x x
x x

+
+ =

=
+ −
3. Phương trình dạng: asin
2
x + bsinxcosx + ccosx = d
Cách giải:
Cách 1: Dùng công thức hạ bậc để đưa về dạng 2
Cách 2: (biến đổi đưa về phương trình bậc hai
theo tan hoặc cot)
Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình
hay không.
Khi cosx

0 chia 2 vế phương trình cho cos
2
x ta
được: atan
2
x + btanx + c = d(1 + tan
2
x)
<=> (a – d)tan
2
x +btanx + c – d = 0
Giải phương trình ta được nghiệm của phương tình đã
cho.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1) 3sin
2
x – 2sin2x – 3cos
2
x = 2
2) cos
3
x + sin
3
x = sinx + cosx
3)
1
4sin 6cos
cos
x x
x
= +
III. Bài tập
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
( )
( )
0
0
1 2 3
1)sin 2 2)sin 2 3)sin 30
2 6 2 2
3
4)sin 3 5)sin 2 0 6)sin 3 1
4 2 4 6
3 1 2
7) cos 2 8)cos 2 9)cos 3 1
3 2 3 2 3
3 3
10) tan 2 3 11) tan 45 12) tan
3 3
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π π π
π π π
π
 
= + = + =
 ÷
 
     
− = − − = − = −
 ÷  ÷  ÷
     
     
− = − = − + =
 ÷  ÷  ÷
     
 
+ = + = − −
 ÷
 
1
4
π
 
= −
 ÷
 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
1)2sin3 1 0 2) 3 2sin 0 3) 2 sin 2 1 0
3
4)2 os x+30 1 0 5) 2 2cos 0 6)2 os 2 0
4
7) tan 3 0 8) 3 tan 2 1 0 9)cot 2 1 0
4
10) tan 1 cot 2 3 0 11) 2cos 3 3 cot3 1 0
x x x
c x c x
x x x
x x x x
π
π
− = − = + =
 
− = − − = + =
 ÷
 
 
+ = − + = − =
 ÷
 
− + = + + =
Bài 3: Giải các phương trình sau:
( )
0 0
1)sin 2 sin 50 2)sin 2 sin 3)sin 30 sin3
6
4)sin 3 sin 0 5)sin 2 sinx=0 6)cos 3 os2x
4 4 6
2
7) cos 2 cos 8)cos 2 cos3 0 9)cot cot 2
3 6 3 3
10) ta
x x x x x
x x x x c
x x x x x x
π
π π π
π π π π
 
= + = + =
 ÷
 
     
− − = − + − =
 ÷  ÷  ÷
     
       
− = + − + = − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( ) ( ) ( )
0 0 0
n 2 tan 11) tan 45 tan 2 0 12) tan 60 tan 2 20 0
3
x x x x x x
π
 
+ = + − = − + + =
 ÷
 

Bài 4: Giải các phương trình sau:
( )
( )
0
0 0
1)sin 2 cos 2)sin 2 cos 0 3)cos 30 sin 2 0
6
4) os 100 2 sin( 30 ) 0 5) tan 2 cot x 6)cot 3 tan 2x
4 6
7) tan .tan 2 1 8)cot 2 .cot 3 1 9) tan 3 .cot 1
x x x x x x
c x x x x
x x x x x x
π
π π
 
= + + = + + =
 ÷
 
   
− + + = − = − =
 ÷  ÷
   
= − = =
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin2x – 2cosx = 0 2) 2sin
2
x + cos3x = 1 3) 2cos
2
x + cos2x = 2
4) 8cos2xsin2xcos4x =
2
5) tan2x – tanx = 0 6) cos
2
(x – 30
0
) =
3
4
III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin
2
x + 2sinx – 3 = 0 2) 2sin
2
x + sinx – 1 = 0 3) 2sin
2
2x + 5sin2x + 2 = 0
4) 2cos
2
x – 3cosx – 2 = 0 5) 4cos
2
x + 4cosx – 3 = 0 6) 2cos
2
x – 5cosx – 3 = 0
7) 3tan
2
x – tanx – 4 = 0 8) 5 + 3tanx – tan
2
x = 0 9) -5cot
2
x – 3tanx + 8 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3sin
2
2x + 7cos2x – 3 = 0 2) 5sin
2
x + 3cosx + 3 = 0 3) 6cos
2
x + 5sinx – 7 = 0
4) 3cos
2
x – 2sinx + 2 = 0 5)
2 4
1
sin cos
4
x x− + =
6) cos2x – 5sinx – 3 = 0
7) cos2x + cosx + 1 = 0 8) 3sin2x – 4cos4x = -1 9) 5cosx – 6cos2x = 2
10) 2cos
2
x – sin
2
x – 4cosx + 2 = 0 11) 9sin
2
x – 5cos
2
x – 5sinx + 4 = 0 12) cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0
13) 3cos2x + 2(1 +
2
+ sinx)sinx – 3 -
2
= 0 14) sin
2
x - cos2x + 4sinx = 6 15) sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
=
0
16) sin
3
x + 3sin
2
x + 2sinx = 0 17)
2
3
5tan 1 0
cos
x
x
+ − =
18) 3tanx – 4cotx + 1 = 0
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sinx -
3
cosx =
2
2)
( )
sin 2 3 sin 2 1
2
x x
π
π
 
+ + − =
 ÷
 
3) 2sin
2
x +
3
sin2x = 3
4) 2cosx – sinx = 2 5) sin5x + cos5x = -1 6) sin
6
x + cos
6
x +
1
2
sin4x = 0
7) 1 + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 0 8) 8cos
4
x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0
V. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin
2
x – 2sinxcosx – 3cos
2
x = 0 2) 6sin
2
x + sinxcosx – cos
2
x = 2
3) sin2x – 2sin
2
x = 2cos2x 4) 2sin
2
x – 3sin4x + cos
2
2x = 2
5) 4cos
2
x +3sinxcosx - sin
2
x = 3 6) 4sin
2
x – 4sinxcosx + 3cos
2
x = 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: giải các phương trình
3 3
3
3 3 2 2
1 2 3 2
1)cos3 2 cos 2)cos3 cos sin 3 sin
2 2
1
3)2 2 cos 3cos sin 0 4)2cos 2 8cos 7
4 cos
5)sin 2 2cos 2 1 sin 4cos 6)2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos
7)sin 3 cos sin cos 3 sin cos 8)(1 s
x co x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x x x x
x x x x x x
π
+
− + = − =
 
− − − = − + =
 ÷
 
+ = + − + + = +
− = − +
2 2
2
2
in )cos (1 cos )sin 1 sin 2
cos 2 1
9)(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin 10)cot 1 sin sin 2
1 tan 2
cos2 sin 2
11)3 cot 3 12)2sin 2 4sin 1 0
sin cos 6
2sin 2 2cos 2sin 1
13) cos2
2cos 1
x x x x x
x
x x x x x x x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x
π
+ + = +
− + = − − = + −
+
   
+ = + − + + =
 ÷  ÷
   
+ − −
=

( ) ( ) ( )
3 3
2 3
2
3
3 sin 1 14) sin cos 1 sin 2 cos sin
2
1 sin
15)tan 16)2sin cos2 cos 0
2 sin
3 cos2
17) 4cot 2 18)cos 2 3sin 2 2 3 sin 2cos 1 0
sin
tan 1 cos cos 2 cos3 2
19) tan 2 20)
cot3 cos cos2 3
x x x x x x x
x
x x x x
x
x
x x x x x
x
x x x x
x
x x x
π
+ + + = + −
+
 
− = + + =
 ÷
 
+
− = − + − + =
+ + +
− = =
+
2 2 2
2
3 2
(3 3 sin )
3 cos2 1
21)4sin 3 cos 2 1 2cos 22) tan 3tan
2 4 2 cos
23)4sin 4sin 3sin 2 6cos 0 24)sin 3 3 cos3 cos2 3sin 2 sin 3 cos
sin sin 2 cos2
25) 3 26)cot 1 si
cos cos2 1 tan
x
x x
x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x x
x
x x x
π π


   
− = + − + − =
 ÷  ÷
   
+ + + = + + − = +

= − = +
− +
2
1
n sin 2
2
x x−
Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2
π
) của phương trình:
cos3 sin3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 

Bài 3: Tìm x
[ ]
0;14∈
nghiệm đúng của phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4= 0
Bài 4: Xác định m để phương trình 2(sin
4
x + cos
4
x) + cos4x + 2sin2x + m = 0
có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Bài 5: Cho phương trình:
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
− +
1. Giải phương trình (1) khi a =
1
3
2. Tìm a để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 6: Tìm x
3
0;
2
π
 

 
 
thỏa mãn phương trình
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x

= +
+
Bài 7: Cho phương trình: 4cos
3
x + (m – 3)cosx – 1 = cos2x
1. Giải phương trình khi m = 1
2. Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
;
2
π
π
 

 ÷
 
---Hết---
MỘT SỐ ĐỀ THI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình:
2 2 2
2
2 2 2
2 2
1) 2 7 4 2) 2 1 2 3 3) 3 4 3 3
5
4) 1 5) 5 1 3 2 2 3 6) 3 15 2 5 1 2
2 1
7) 2 1 2 1 2 8) 4 1 2 2 9
3
9) 2 7 2 1 8 7 1 10) 2 9 ( 5)
3
x x x x x x
x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x
x
− + = + = + − + − − =
+ − = − = − − − + + + + =
+
+ − + − − = + + + + + = + +
+
+ − = − + − + − + − = +

Bài 2: Giải các phương trình (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình)
2
3
2
3 3
3
4 4
2
4
3 3 3
3
2
1) 24 12 6 2) 3 10 5
3) 9 ( 3) 6 4) 7 1
5) 5 1 2 6)2 3 2 3 6 5 8 0 ( 2009)
7) 3 2 2 1 8) 17 3
1 1
9) 1 2 1 10) 2
2
x x x x
x x x x
x x x x dh A
x x x x x
x x
x
x
+ + − = + + − =
− = − + − − =
− + − = − + − − = −
+ + − = + + − =
− + + = + =

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
3 3 3 3 4 4 2 2 2 2
2 3 2
4 3 2 2
2 2
2
4 2
12 110 18
1) 2) 3)
0 6 ( 1) ( 1) 72
5
1 7
2 2 9
4
4) ( 08) 5) ( 08) 6)
5
1 13
2 6 6
(1 2 )
4
x x y y x y x y x x y y
x xy y xy x x y y
x x x y xy xy
xy x y
x x y x y x
A B
x y xy y
x xy x
x y xy x
  
+ + = + + + = + + + =
  
+ + = = − + + =
  

+ + + + = −

+ + =

+ + = +
 
− −
 
+ + =
+ = +



+ + + = −


2
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
( 09)
( 1) 3 0
8
3 8
7) ( 09) 8) 9)
5
( ) 1 0
2 3 0
2
8
16
2 1 26 1 ( ) 4
10) 11) 12)
( 1)( 2)
1 10
1
B
x x y
x y x y
x y
D
x y
x xy y
y x y
x
xy
x y
y y x x x y x y y
x y
x x y y
y y x
x y x y




+ + − =



+ + − =
+ + =
  

  
+ − + =
− + =
− =

 





+ + =

+ − = − + + + =
  
+
  
+ + − =

+ − =

 

+ = −

2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
3
2
2 2
1 1
5
30
(3 2 )( 1) 12
3) 14) 15)
1 1
2 4 8
35
9
2
1 1
3
2 3 16
16) ( 03) 17) ( 03) 18)
2
2 8
3
2 1
3 2
19)
x y
x y y x
x x y x
x y
x y x
x x y y
x y
x y
y
y
x y
x xy y
x
x y
B A
x
x xy y
x
y x
y
x xy y

+ + + =


+ =
+ + =

 
  
+ + =
+ =

 

+ + + =



+

=

− = −

+ + =
  
− −
  
+
+ + =


 
=
= +



− +
2
2 2 4 2 2 2
3 4
11 2 0
20) 21)
2 3 17 4 3 0
3 4
y
x y
x xy x y
x
x
x xy y x x y x y
y x
y

− =

 
= − + + =
  
  
+ + = − + + =
 
 

− =


Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Bài tập phương trình lương giác