GTLN,GTNN biểu thức

Chuyên đề cửc tri
*) Bài toán tổng quát: " Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y
= f(x) ".
Để giải các bài toán dạng này ta sử dụng một trong các phơng pháp sau:
Ph ơng pháp 1 : Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn:
Ta biến đổi y = f(x) sao cho:
+) y = M - [ g(x)]
2n
, n

Z+

y

M . Do đó ymax = M khi và chỉ khi
g(x) = 0.
+) y = m + [h(x)]
2k
, k

Z+

y

m . Do đó ymin = m khi và chỉ khi
h(x) = 0.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
HD: Ta có : y = ( x
2
+ 5x + 4 )( x
2
+ 5x + 6 )
= ( x
2
+ 5x + 4 )( x
2
+ 5x + 4 + 2 )
= ( x
2
+ 5x + 4 )
2
+ 2( x
2
+ 5x + 4 ) + 1 - 1
= ( x
2
+ 5x + 4 +1)
2
- 1 = ( x
2
+ 5x + 5 )
2
- 1
Do ( x
2
+ 5x + 5 )
2


0 nên y

-1 Vậy miny = -1

( x
2
+ 5x + 5 )
2
= 0

x =
2
55

.
Ví dụ 2: Cho P = - 2x
2
- y
2
+ 2xy + 6x - 8. Tìm Max P
Giải :
P = - x
2
+ 2xy - y
2
- x
2
+ 6x - 9 + 1 = - (x - y)
2
- (x - 3)
2
+ 1
Vì - (x - y)
2


0 và - (x - 3)
2


0 => P = - (x - y)
2
- (x - 3)
2
+ 1

1
Dấu = xảy ra





=
=
< = >
0)3(
0)(
2
2
x
yx




=
=
< = >
3x
yx
Vậy MaxP = 1 x = y = 3.
Ph ơng pháp 2 : áp dụng đối với các biểu thức có dạng:
y =
)(
)(
xB
xA
với B(x)

0.
Cách 1: Chia tử cho mẫu để đa về dạng: y = a


)( xB
b
.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
g(x) =
1
22
2
2
++

xx
xx
.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất:
1
Ta có: g(x) =
( )
1
2223
2
22
++
++
xx
xxx
=
1
3
2
2
++ xx
x
- 2

-2 ( do
1
3
2
2
++
xx
x

0 ). Đẳng
thức xảy ra khi x = 0 . Vậy min g(x) = -2 khi x = 0 .
b) Tìm giá trị lớn nhất: x

0
Ta có: g(x) =
2
11
1
3
xx
++
- 2 mà 1 +
2
11
xx
+
=






++
x
1
2
1
4
3
2



4
3


g(x)

4 - 2 = 2, đẳng thức xẩy ra khi x = -2 . Vậy max g(x) = 2
khi x = -2.
Ví dụ 2: Cho y =
2
32
2
2
+
+
a
aa
. Tìm Max y.
Giải: Ta có:
2
1422
2
22
+
+
a
aaa
= 2 -
2
)1(
2
2
+
+
a
a

2 ( vì
2
)1(
2
2
+
+
a
a

0). Đẳng thức
xảy ra khi a = -1. Vậy Max y = 2 khi a = -1.
Cách 2: Tìm miền giá trị
Ví dụ : Cho y =
1
1
2
2
++
+
xx
x
(1) .Tìm Max y, Min y.
Ta có (1)

y(
1
2
++
xx
) = x
2
+ 1 hay (y - 1)x
2
+ yx + (y - 1) = 0 để (1) thoả
mãn thì :

= y
2
- 4(y - 1)
2


0

(3y - 2)(2 - y)

0


3
2
2

y
Vậy
3
2



1
1
2
2
++
+
xx
x

2 . Vậy Max y = 2 khi x = -1. Min y =
3
2
khi x = 1.
Ph ơng pháp 3 : áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Ta có: | a + b | | a | + | b |
| a - b | | a | - | b |
Dấu = xảy ra <=> a.b 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
9124
2
+
xx
+
144
2
++
xx
.
Ta có: A =
1232
++
xx
=
1223
++
xx


1223
++
xx
= 4
Vậy MinA = 4

(3 - 2x )(2x + 1)

0


2
3
2
1

x
.
Ví dụ 2: Cho y = | x - 1 | + | x- 2 | + | x - 3 | + | x + 4 |. Tìm Min y
Giải:
y
1
= | x - 1 | + | x - 2 | = | x - 1 | + | 2 - x | | x - 1 + 2 - x | = 1
Vậy my
1
= 1 (x - 1) (2 - x) 0 1 x 2
+ Xét y
2
= | x - 3 | + | x + 4 | = | 3 - x | + | x + 4 | | 3 - x + x + 4 | = 7
Vậy miny
2
= 7 (3 - x) (x+4) 0 -4 x 3
2
+ Min y xảy ra

Miny
1
và Miny
2
cùng xảy ra.
=> Miny =

Miny
1
+ Miny
2
= 1+7=8

1 x 2.
Ví dụ 3: Tìm Max, Min của y. Biết y =
2

x
-
1
+
x
Giải : Ta có:
y
=
12
+
xx



12

xx
= 3

y


3


-3

y

3 . Giá trị x lúc này: (x - 2)(x + 1) 0 x 2 hoặc
x

-1.
Với x = 2

y =
2

x
-
1
+
x
= 0 - 3 = -3 .
Với x = -1

y =
2

x
-
1
+
x
= 3 - 0 = 3.
Vậy Min y = -3 khi x = 2. Max y = 3 khi x = -1.
Ph ơng pháp 4 : Dùng bất đẳng thức cổ điển
1) Bất đẳng thức cô si
Với 2 số không âm a, b thì:
2
ba
+

ab
với a 0; b 0
Dấu = xảy ra

a = b
2. Bất đẳng thức Svác (hay gọi là Bunhia CôpSki)
Với mọi số a, b, c, d bao giờ cũng có:
| ac + bd |
))((
2222
dcba
++
Hoặc (ac + bd)
2
(a
2
+ b
2
) (c
2
+ d
2
)
Dấu = xảy ra

a.d - bc = 0


c
a
=
d
b
(với c 0, d 0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 3x(3 - 2x)
Giải: Ta có: y = 3x(3 - 2x) =
2
3
.2x(3 - 2x).
chọn a = 2x , b = 3 - 2x

a + b = 3

2
3
.2x(3 - 2x) =
2
3
a.b


2
3
2
2






+
ba
=
8
27
.
Do đó ymax =
8
27
khi x =
4
3
.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y =
6

x
+
2
+
x
HD: Điều kiện: 6 - x
0

và x + 2
0



-2

x

6.
Ta có: y
2
= (
x

6
+
2
+
x
)
2
, y > 0 .
Chọn a = 1; c =
x

6
; b = 1 ; d =
2
+
x


y
2


(1 + 1)(6 - x + x + 2) = 2.8 =16

y
= 4

-4

y

4.
Do y > 0 nên 0 < y

4. Vậy Max y = 4


6

x
=
2
+
x


x = 2.
Ví dụ 3: Cho y = | x |
2
1 x

. Tìm Maxy
Giải: Điều kiện: -1 x 1
Dùng côsi: y = | x |
2
1 x


2
1
22
xx
+
=
2
1
3
Maxy =
2
1
| x | =
2
1 x

x
2
= 1 - x x =
2
2
Ph ơng pháp 5 : áp dụng một số bất đẳng thức phụ
1) Với hai số a > 0 , b > 0 ta luôn có
a
b
b
a
+


2
dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
a
b
b
a
=
.
2)
2
22
ba
+

2
2






+
ba
hay (a + b)
2
4ab a, b dấu = xảy ra a = b
Ví dụ 1: Cho y =
2
3
3

+
x
x
với mọi x > 2. Tìm Min y.
Giải: Ta có : y =
3
2
2
3
3
2
+

+

x
x


2 +
3
2
=
3
8


Min y =
3
8



2
3
3
2

=

x
x



2

x
= 3

x = 5 hoặc x = -1.
Do x > 2 nên loại x = -1. Vậy Min y =
3
8
khi x = 5.
Ví dụ 2:
Cho x + y = 1 Tìm MinA. Biết A = x
4
+ y
4
Ta có:
2
A
=
2
44
yx
+
=
2
)()(
2222
yx
+

2
22
yx
+

2
2






+
yx
=
2
2
1






=
16
1
=> A
8
1
Vậy MinA =
8
1
x = y =
2
1
Ví dụ 3: Cho x ; y thoả mãn x + y = 2a ( a dơng không đổi ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của x
2
+ y
2
Giải: Ta có :
2
22
yx
+



2
2






+
yx

x
2
+ y
2


2a
2
. Đẳng thức xảy ra khi x =
y = a . Vậy Min (x
2
+ y
2
) = 2a
2
.
4