Tổng quan về kỹ thuật đồ họa

LỜI NÓI ĐẦU
Đồ hoạ máy tính (Computer Graphics) là một lĩnh vực lý thú và có nhiều ứng dụng
trong thực tế, nó góp phần làm cho giao tiếp giữa con người và máy tính trở nên thân
thiện hơn. Giao diện kiểu văn bản (text) đã được thay thế hoàn toàn bằng giao diện đồ
hoạ. Tuy nhiên, việc dạy và học kỹ thuật đồ họa thì không đơn giản do chủ đề này có
nhiều phức tạp. Kỹ thuật đồ họa liên quan đến tin học và toán họ
c bởi vì hầu hết các giải
thuật vẽ, tô cùng các phép biến hình đều được xây dựng dựa trên nền tảng của hình học
không gian hai chiều và ba chiều. Hiện nay, Kỹ thuật đồ họa là một môn học được giảng
dạy cho sinh viên chuyên ngành Công Nghệ Thông Tin.
Trong cuốn giáo trình này, tôi muốn mang lại cho bạn đọc các cơ sở lý thuyết về đồ
hoạ máy tính từ đơn giản nhất như các thuật toán vẽ đường thẳ
ng, đường tròn, đa giác, ký
tự... Tiếp đến các kỹ thuật xén tỉa, các phép biến đổi đồ hoạ trong không gian 2D và
3D...Chúng ta lần lượt làm quen với thế giới màu sắc thông qua các hệ màu: RGB,
CMYK, HSV.... Phức tạp hơn nữa là các phép chiếu, các phương pháp xây dựng đường
cong và mặt cong cho đối tượng. Cuối chúng ta tìm hiểu về ánh sáng và hình học fractal.
Giáo trình gồm chín chương, trong đó chương một giúp bạn đọc có cái nhìn tổng
quan về kỹ thuật đồ hoạ t
ừ trước đến giờ cùng định hướng tương lai cho lĩnh vực này. Các
chương tiếp theo, mỗi chương sẽ là một vấn đề từ đơn giản đến phức tạp về cơ sở nền tảng
cho ngành kỹ thuật đồ hoạ. Cuối mỗi chương đều có phần bài tập để kiểm tra lại kiến thức
vừa đọc được. Bài tập gồm hai dạng: d
ạng tính toán và dạng lập trình, đối với dạng lập
trình bạn có thể viết bằng C/C++ hay BC thậm chí bằng VB đều được. Cuối cùng là phần
phụ lục gồm các hướng dẫn làm bài tập lập trình, ngôn ngữ hay dùng ở đây là C/C++ hay
BC.
Bố cục rõ ràng, hình ảnh phong phú, đa dạng. Tôi hy vọng rằng giáo trình là một bộ
tham khảo đầy đủ các thông tin hữu ích và có tính thực tiễn cao cho môn kỹ thuật đồ hoạ.
Trong quá trình biên soạn mặ
c dù đã cố gắng hết sức nhưng vẫn không tránh khỏi
những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp chân thành từ quý bạn đọc.
Xin chân thành cám ơn.


Tác giả





Mục lục

2
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU........................................................................................................................ 1

MỤC LỤC.............................................................................................................................. 2

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ KỸ THUẬT ĐỒ HOẠ ...................................................... 7

1.1. CÁC KHÁI NIỆM TỔNG QUAN CỦA KỸ THUẬT ĐỒ HOẠ MÁY TÍNH
(COMPUTER GRAPHICS)......................................................................................................... 7

1.1.1. L ịch sử phát triển................................................................................................. 7

1.1.2. Kỹ thuật đồ họa vi tính. ...................................................................................... 8

1.2. CÁC KỸ THUẬT ĐỒ HOẠ ....................................................................................... 8

1.2.1. Kỹ thuật đồ hoạ điểm (Sample based-Graphics) ................................................. 8

1.2.2. Kỹ thuật đồ hoạ vector.......................................................................................... 9

1.2.3. Phân loại của đồ hoạ máy tính........................................................................... 10

1.2.4. Các ứng dụng tiêu biểu của kỹ thuật đồ họa....................................................... 11

1.2.5. Các chuẩn giao diện của hệ đồ hoạ..................................................................... 13

1.3. PHẦN CỨNG ĐỒ HOẠ (GRAPHICS HARDWARE)............................................ 13

1.3.1. Các thành phần phần cứng của hệ đồ hoạ tương tác........................................... 13

1.3.2. Máy in................................................................................................................. 14

1.3.3. Màn hình CRT.................................................................................................... 14

1.3.4. Màn hình tinh thể lỏng (Liquid Crystal Display – LCD) ................................... 16

Tóm tắt chương: ............................................................................................................... 17

Bài tập:..............................................................................................................................18

CHƯƠNG 2: CÁC GIẢI THUẬT SINH THỰC THỂ CƠ SỞ............................................ 19

2.1. CÁC HỆ THỐNG TOẠ ĐỘ TRONG ĐỒ HOẠ....................................................... 19

2.1.1. Hệ toạ độ thực (WCS – World Coordinate System)........................................... 19

2.1.2. Hệ toạ độ thiết bị (DCS – Device Coordinate System) ...................................... 19

2.1.3. toạ độ thiết bị chuẩn (NDCS – Normalized Device Coordinate System)........... 20

2.2. ĐIỂM VÀ ĐOẠN THẲNG....................................................................................... 20

2.2.1. Điểm ................................................................................................................... 20

2.2.2. Đoạn thẳng.......................................................................................................... 20

2.3. CÁC GIẢI THUẬT XÂY DỰNG THỰC THỂ CƠ SỞ ........................................... 21

2.3.1. Giải thuật vẽ đoạn thẳng thông thường .............................................................. 21

2.3.2. Giải thuật Bresenham ......................................................................................... 22

2.3.3. Giải thuật trung điểm-Midpoint.......................................................................... 23

2.3.3. Giải thuật sinh đường tròn (Scan Converting Circles)(Bresenham)................... 25

2.3.5. Giải thuật sinh đường tròn Midpoint .................................................................. 28

2.3.6. Giải thuật sinh đường ellipse............................................................................. 30

2.3.7. Giải thuật sinh ký tự .......................................................................................... 33

2.3.8. Giải thuật sinh đa giác (Polygon) ....................................................................... 34

Mục lục

3
Tóm tắt chương: ............................................................................................................... 39

Bài tập:..............................................................................................................................39

CHƯƠNG 3: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ HOẠ.................................................................. 41

3.1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC HAI CHIỀU.................................................... 41

3.1.1. Phép biến đổi Affine (Affine Transformations) ................................................. 41

3.1.2. Các phép biến đổi đối tượng............................................................................... 41

3.2. TỌA ĐỘ ĐỒNG NHẤT VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ............................................. 45

3.2.1. Toạ độ đồng nhất ................................................................................................ 45

3.2.2. Phép biến đổi với toạ độ đồng nhất .................................................................... 46

3.2.3. Cài đặt c/c++ cho phép quay tam giác quanh 1 điểm (xq,yq): ........................... 47

3.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC BA CHIỀU...................................................... 48

3.3.1.Biểu diễn điểm trong không gian 3 chiều............................................................ 48

3.3.2. Phép tịnh tiến...................................................................................................... 48

3.3.3. Phép tỉ lệ............................................................................................................. 48

3.3.4. Phép biến dạng.................................................................................................... 49

3.3.5. Phép lấy đối xứng............................................................................................... 49

3.3.6. Phép quay 3 chiều............................................................................................... 49

3.3.7. Cài đặt bằng c/c++ như sau: ............................................................................... 53

Tóm tắt: ............................................................................................................................ 54

Bài tập:..............................................................................................................................54

CHƯƠNG 4: CÁC GIẢI THUẬT ĐỒ HOẠ CƠ SỞ .......................................................... 57

4.1. MÔ HÌNH CHUYỂN ĐỔI GIỮA BA HỆ THỐNG TOẠ ĐỘ................................. 57

4.1.1. Mô hình chuyển đổi............................................................................................ 57

4.1.2. Phép ánh xạ từ cửa sổ vào khung nhìn ............................................................... 57

4.2. CÁC GIẢI THUẬT XÉN TIẢ (CLIPPING) ............................................................ 59

4.2.1. Khái niệm ........................................................................................................... 59

4.2.2. Clipping điểm ..................................................................................................... 59

4.2.3. Xén tỉa đoạn thẳng.............................................................................................. 59

4.2.4. Giải thuật xén tỉa đa giác (Sutherland Hodgman) .............................................. 66

Tóm tắt chương: ............................................................................................................... 70

Bài tập:..............................................................................................................................70

CHƯƠNG 5: PHÉP CHIẾU –PROJECTION...................................................................... 71

5.1. KHÁI NIỆM CHUNG............................................................................................... 71

5.1.1.Nguyên lý về 3D (three-Dimension) ................................................................... 71

5.1.2. Đặc điểm của kỹ thuật đồ hoạ 3D....................................................................... 71

5.1.3.Các phương pháp hiển thị 3D.............................................................................. 71

5.2.PHÉP CHIẾU ............................................................................................................. 72

5.3. PHÉP CHIẾU SONG SONG (Parallel Projections )................................................. 74

Mục lục

4
5.3.1.Phép chiếu trực giao (Orthographic projection) .................................................. 74

5.3.2. Phép chiếu trục luợng (Axonometric) ................................................................ 75

5.3.3. Phép chiếu xiên - Oblique .................................................................................. 78

5.4. PHÉP CHIẾU PHỐI CẢNH (Perspective Projection) .............................................. 79

5.4.1. Phép chiếu phối cảnh một tâm chiếu .................................................................. 80

5.4.2. Phép chiếu phối cảnh hai tâm chiếu ................................................................... 81

5.4.3. Phép chiếu phối cảnh ba tâm chiếu .................................................................... 83

Tóm tắt chương: ............................................................................................................... 83

Bài tập:..............................................................................................................................83

CHƯƠNG 6: MÀU SẮC TRONG ĐỒ HOẠ ...................................................................... 85

6.1. ÁNH SÁNG VÀ MÀU SẮC (light and color).......................................................... 85

6.1.1. Quan niệm về ánh sáng....................................................................................... 85

6.1.2. Yếu tố vật lý ....................................................................................................... 85

6.1.3. Cảm nhận màu sắc của con người (Physiology - Sinh lý - Human Vision) ....... 87

6.1.4. Các đặc trưng cơ bản của ánh sáng..................................................................... 89

6.2. ÁNH SÁNG ĐƠN SẮC ............................................................................................ 89

6.2.1. Cường độ sáng và cách tính................................................................................ 90

6.2.2. Phép hiệu chỉnh gama......................................................................................... 90

6.2.3. Xấp xỉ bán tông - halftone .................................................................................. 91

6.2.4. Ma trận Dither và phép lấy xấp xỉ bán tông ....................................................... 93

6.3. CÁC HỆ MÀU TRONG MÀN HÌNH ĐỒ HỌA...................................................... 93

6.3.1. Mô hình màu RGB (Red, Green, Blue - đỏ, lục, lam)........................................ 94

6.3.2. Mô hình màu CMY (Cyan, Magenta, Yellow - xanh tím, Đỏ tươi, vàng) ......... 94

6.3.3. Mô hình màu YIQ.............................................................................................. 95

3.4. Mô hình màu HSV (Hue, Saturation,Value) - Mỹ thuật........................................ 96

6.3.5. Biểu đồ màu CIE (1931 – Commission Internationale de l’Eclairage).............. 97

6.4. CHUYỂN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ MÀU ................................................................... 100

6.4.1. Chuyển đổi HSV - RGB................................................................................... 100

6.4.2. Chuyển đổi RGB sang XYZ............................................................................. 101

Tóm tắt: .......................................................................................................................... 102

Bài tập:............................................................................................................................ 102

CHƯƠNG 7: ĐƯỜNG CONG VÀ MẶT CONG TRONG 3D ......................................... 104

7.1. ĐƯỜNG CONG - CURVE ..................................................................................... 104

7.1.1. Điểm biểu diễn đường cong (curve represents points ).................................. 104

7.1.2. Đường cong đa thức bậc ba tham biến ............................................................. 104

7.1.3. Đường cong Hermite ........................................................................................ 105

7.1.4. Đường cong Bezier........................................................................................... 106

7.1.5. Đường cong B-spline........................................................................................ 108

Mục lục

5
7.2. MÔ HÌNH BỀ MẶT (Surface) VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ............ 114

7.2.1. Các khái niệm cơ bản ....................................................................................... 114

7.2.2. Biểu diễn mảnh tứ giác..................................................................................... 115

7.2.3. Mô hình hoá các mặt cong (Surface Patches)................................................... 117

7.2.4. Mặt từ các đường cong ..................................................................................... 120

Tóm tắt: .......................................................................................................................... 125

Bài tập:............................................................................................................................ 125

CHƯƠNG 8: ÁNH SÁNG ................................................................................................. 127

8.1. GIỚI THIỆU............................................................................................................ 127

8.1.1. Mục tiêu chính trong đồ họa máy tính.............................................................. 127

8.1.2. Các giải pháp trong đồ họa máy tính................................................................ 127

8.2. CÁC KỸ THUẬT CHIẾU SÁNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH....................... 129

8.2.1. Đánh giá về cường độ ánh sáng........................................................................ 129

8.2.2. Cường độ ánh sáng ........................................................................................... 130

8.2.3. Những thuộc tính bao quanh của vật chất ........................................................ 131

8.2.4. Thuộc tính khuếch tán của vật chất .................................................................. 132

8.2.5. Sự tương tác bề mặt/ánh sáng........................................................................... 133

8.2.6. Sự khúc xạ và sự truyền sáng ........................................................................... 133

8.3. CÁC CÔNG NGHỆ................................................................................................. 134

8.3.1. Raytracing......................................................................................................... 134

8.3.2. Radiosity........................................................................................................... 138

8.3.3. Photon Mapping ............................................................................................... 143

8.4. SỰ SO SÁNH GIỮA CÁC KỸ THUẬT (COMPARISON OF TECHNIQUES) .. 147

8.4.1. Raytracing......................................................................................................... 148

8.4.2. Radiosity........................................................................................................... 148

8.4.3. Photon mapping................................................................................................ 148
Tóm tắt……………………………………………………………………………….148
CHƯƠNG 9: HÌNH HỌC FRACTAL ............................................................................... 150

9.1. SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH.................. 150

9.1.1. Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình ...................................................... 150

9.1.2. Các ứng dụng tổng quát của hình học phân hình.............................................. 151

9.2. MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH................................. 151

9.2.1 Họ đường VONKOCK...................................................................................... 151

9.2.2. Đường SIERPINSKI ........................................................................................ 154

9.3. CÂY FRACTAL...................................................................................................... 155

9.3.1. CÁC CÂY THỰC TẾ: ..................................................................................... 155

9.3.2. BIỂN DIỄN TOÁN HỌC CỦA CÂY:............................................................. 156

9.4. TẬP MANDELBROT............................................................................................. 159

Mục lục

6
9.4.1. Đặt vấn đề......................................................................................................... 159

9.4.2. CÔNG THỨC TOÁN HỌC ............................................................................. 159

9.4.3. THUẬT TOÁN THỂ HIỆN TẬP MANDELBROT........................................ 160

9.5. TẬP JULIA.............................................................................................................. 161

9.5.1. Đặt vấn đề:........................................................................................................ 161

9.5.2. Công thức toán học:.......................................................................................... 161

9.5.3. Thuật toán thể hiện tập Julia............................................................................. 161

9.6. HỌ CÁC ĐƯỜNG CONG PHOENIX.................................................................... 163

Bài tập............................................................................................................................. 165

PHỤ LỤC ........................................................................................................................... 166

1. Yêu cầu....................................................................................................................... 166

2. Khởi tạo và đóng chế độ đồ hoạ ................................................................................. 166

3. Các hàm cơ bản .......................................................................................................... 167

3.1. Bảng màu của màn hình đồ hoạ........................................................................... 167

3.2. Điểm .................................................................................................................... 168

3.3. Đường.................................................................................................................. 168

3.4. Hình chữ nhật ...................................................................................................... 168

3.5. Hình tròn.............................................................................................................. 168

3.6. Đa giác................................................................................................................. 169

3.7. Văn bản................................................................................................................ 169

3.8. Cửa sổ (viewport) ................................................................................................ 170

3.9. Tạo hình ảnh chuyển động................................................................................... 170

Các code chương trình ví dụ cho bài tập lập trình.......................................................... 172

Bài 1: quay đối tượng ................................................................................................. 172

Bài 2: xén tỉa............................................................................................................... 179

Bài 3: Phép chiếu........................................................................................................ 180

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 185








Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

7
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ KỸ THUẬT ĐỒ HOẠ
1.1. CÁC KHÁI NIỆM TỔNG QUAN CỦA KỸ THUẬT ĐỒ HOẠ MÁY
TÍNH (COMPUTER GRAPHICS)
1.1.1. L ịch sử phát triển
Lịch sử của đồ họa máy tính là vào thập niên 1960 được đánh dấu bởi dự án SketchPad
được phát triển tại Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT) bởi Ivan Sutherland. Các
thành tựu thu được đã được báo cáo tại hội nghị Fall Joint Computer và đây cũng chính là
sự kiện lần đầu tiên người ta có thể tạo mới, hiển thị và thay đổi được dữ liệu hình ảnh
trực tiếp trên màn hình máy tính trong thời gian thực. Hệ thống Sketchpad này đượ
c dùng
để thiết kế hệ thống mạch điện và bao gồm những thành phần sau:
 CRT màn hình
 Bút sáng và một bàn phím bao gồm các phím chức năng
 Máy tính chứa chương trình xử lý các thông tin
Với hệ thống này, người sử dụng có thể vẽ trực tiếp các sơ đồ mạch điện lên màn
hình thông qua bút sáng, chương trình sẽ phân tích và tính toán các thông số cần thiết của
mạch điện do người dùng vẽ nên.
Cũng trong năm 1960 này, William Fetter nhà khoa học người Mỹ. Ông đang
nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing của Mỹ. Ông dựa trên
hình ảnh ba chiều của mô hình người phi công trong buồng lái của máy bay để xây dựng
nên một mô hình tối ưu cho buồng lái máy bay. Phương pháp này cho phép các nhà thiết
kế quan sát một cách trực quan vị trí của người lái trong khoang. Ông đặt tên cho phương
pháp này là đồ hoạ máy tính (Computer Graphics) .
Màn hình là thiết bị thông dụng nhất trong hệ đồ hoạ, các thao tác của hầu hết các
màn hình đề
u dựa trên thiết kế ống tia âm cực CRT (Cathode ray tube).
Kỹ thuật đồ họa được liên tục hoàn thiện vào thập niên 1970 với sự xuất hiện của
các chuẩn đồ họa làm tăng cường khả năng giao tiếp và tái sử dụng của phần mềm cũng
như các thư viện đồ họa.
Sự phát triển vượt bậc của công nghệ vi điện tử và phần cứng máy tính vào th
ập
niên 1980 làm xuất hiện hàng loạt các vỉ mạch hỗ trợ cho việc truy xuất đồ họa đi cùng
với sự giảm giá đáng kể của máy tính cá nhân làm đồ họa ngày càng đi sâu vào cuộc sống
thực tế.
Những năm 1980 có raster graphics (đồ hoạ điểm). Bắt đầu chuẩn đồ hoạ ví dụ như:
GKS(Graphics Kernel System): European effort (kết quả của châu âu), Becomes ISO 2D
standard.
Thập niên 90 phát triển đặc biệt về ph
ần cứng, thiết bị hình học đồ hoạ Silicon. Xuất
hiện các chuẩn công nghiệp: PHIGS (Programmers Hierarchical Interactive Graphics
Standard) xác định các phương pháp chuẩn cho các mô hình thời gian thực và lập trình
hướng đối tượng. Giao diện người máy Human-Computer Interface (HCI).
Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

8
Ngày nay xuất hiện ảnh hiện thực, cạc đồ hoạ cho máy tính (Graphics cards for
PCs), game boxes và game players. Công nghiệp phim ảnh nhờ vào đồ hoạ máy tính
(Computer graphics becoming routine in movie industry), Maya (thế giới vật chất tri giác
được)….
1.1.2. Kỹ thuật đồ họa vi tính.

Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu về cơ sở toán học, các
thuật toán cũng như các kỹ thuật để cho phép tạo, hiển thị và điều khiển hình ảnh trên màn
hình máy tính. Đồ họa máy tính có liên quan ít nhiều đến một số lĩnh vực như đại số, hình
học giải tích, hình học họa hình, quang học,... và kỹ thuật máy tính, đặc biệt là chế tạo
phần c
ứng (các loại màn hình, các thiết bị xuất, nhập, các vỉ mạch đồ họa...).
Theo nghĩa rộng hơn, đồ họa máy tính là phương pháp và công nghệ dùng trong việc
chuyển đổi qua lại giữa dữ liệu và hình ảnh trên màn hình bằng máy tính. Đồ họa máy
tính hay kỹ thuật đồ họa máy tính còn được hiểu dưới dạng phương pháp và kỹ thuật tạo
hình ảnh từ các mô hình toán học mô tả các đối tượng hay dữ liệu lấ
y được từ các đối
tượng trong thực tế.
1.2. CÁC KỸ THUẬT ĐỒ HOẠ
1.2.1. Kỹ thuật đồ hoạ điểm (Sample based-Graphics)
 Các mô hình, hình ảnh của các đối tượng được hiển thị thông qua từng pixel (từng
mẫu rời rạc)
 Đặc điểm:Có thể thay đổi thuộc tính của từng điểm ảnh rời rạc
o Xoá đi từng pixel của mô hình và hình ảnh các đối tượng.
o Các mô hình hình ảnh được hiển thị như một lưới điểm (grid) các pixel rời
rạc,
o Từ
ng pixel đều có vị trí xác định, được hiển thị với một giá trị rời rạc (số
nguyên) các thông số hiển thị (màu sắc hoặc độ sáng)
 Tập hợp tất cả các pixel của grid cho chúng ta mô hình, hình ảnh đối tượng mà
chúng ta muốn hiển thị.






Hình 1.1 Ảnh đồ hoạ điểm
Phương pháp để tạo ra các pixel
 Phương pháp dùng phần mềm để vẽ trực tiếp từng pixel một.
 Dựa trên các lý thuyết mô phỏng (lý thuyết Fractal, v.v) để xây dựng nên hình ảnh
mô phỏng của sự vật.
Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

9
 Phương pháp rời rạc hoá (số hoá) hình ảnh thực của đối tượng.
 Có thể sửa đổi (image editing) hoặc xử lý (image processing) mảng các pixel thu
được theo những phương pháp khác nhau để thu được hình ảnh đặc trưng của đối
tượng.
1.2.2. Kỹ thuật đồ hoạ vector







Hình 1.2 Mô hình đồ hoạ vector
 Mô hình hình học (geometrical model) của đối tượng
 Xác định các thuộc tính của mô hình hình học này,
 Quá trình tô trát (rendering) để hiển thị từng điểm của mô hình, hình ảnh thực của
đối tượng
Ví dụ về hình ảnh đồ hoạ Vector












Hình 1.3 Ví dụ về đồ hoạ vector
Có thể định nghĩa đồ hoạ vector: Đồ hoạ vector = geometrical model + rendering





Các tham
số tô trát
Tô trát
Thiết bị ra
Mô hình
đồ họa
Muscle ModelWireframe Model Skeletal Model
Skin Model Hair Model Render and Touch up
Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

10
So sánh giữa Raster và Vector Graphics
Đồ hoạ điểm(Raster Graphics)
- Hình ảnh và mô hình của các vật thể được
biểu diễn bởi tập hợp các điểm của lưới (grid)
- Thay đổi thuộc tính của các pixel => thay
đổi từng phần và từng vùng của hình ảnh.
- Copy được các pixel từ một hình ảnh này
sang hình ảnh khác.

Đồ hoạ vector(Vector Graphics)
- Không thay đổi thuộc tính của từng điểm
trực tiếp
- Xử lý với từ
ng thành phần hình học cơ sở
của nó và thực hiện quá trình tô trát và hiển thị
lại.
- Quan sát hình ảnh và mô hình của hình ảnh
và sự vật ở nhiều góc độ khác nhau bằng cách
thay đổi điểm nhìn và góc nhìn.
1.2.3. Phân loại của đồ hoạ máy tính
Phân loại theo các lĩnh vực của đồ hoạ máy tính










Phân loại theo hệ toạ độ



 Kỹ thuật đồ hoạ hai chiều:
là kỹ thuật đồ hoạ máy tính sử dụng hệ toạ độ hai chiều
(hệ toạ độ phẳng), sử dụng rất nhiều trong kỹ thuật xử lý bản đồ, đồ thị.
 Kỹ thuật đồ hoạ ba chiều:
là kỹ thuật đồ hoạ máy tính sử dụng hệ toạ độ ba chiều,
đòi hỏi rất nhiều tính toán và phức tạp hơn nhiều so với kỹ thuật đồ hoạ hai chiều.
Các lĩnh vực của đồ hoạ máy tính:
Kỹ thuật xử lý ảnh (Computer Imaging): sau quá trình xử lý ảnh cho ta ảnh số của
đối tượng. Trong quá trình xử lý ảnh sử dụng rất nhiều các kỹ thuậ
t phức tạp: kỹ thuật
khôi phục ảnh, kỹ thuật làm nổi ảnh, kỹ thuật xác định biên ảnh.

Kỹ thuật nhận dạng (Pattern Recognition): từ những ảnh mẫu có sẵn ta phân loại
theo cấu trúc, hoặc theo các tiêu trí được xác định từ trước và bằng các thuật toán chọn lọc
để có thể phân tích hay tổng hợp ảnh đã cho thành một tập hợp các ảnh gốc, các ảnh gốc
Kỹ thuật phân tích và tạo ảnh
Đồ hoạ hoạt hình và nghệ thuật
Kỹ thuật nhận dạng
Xử lý ảnh

đồ hoạ minh hoạ
CAD/CAM System
Kỹ thuật đồ hoạ
Kiến tạo đồ
hoạ
Xử lý đồ
hoạ

Kỹ thuật đồ hoạ
Kỹ thuật đồ hoạ 2 chiều
Kỹ thuật đồ hoạ 3 chiều
Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

11
này được lưu trong một thư viện và căn cứ vào thư viện này ta xây dựng được các thuật
giải phân tích và tổ hợp ảnh.
Kỹ thuật tổng hợp ảnh (Image Synthesis): là lĩnh vực xây dựng mô hình và hình ảnh
của các vật thể dựa trên các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng.
Các hệ CAD/CAM (Computer Aided Design/Computer Aided Manufacture
System): kỹ thuật đồ hoạ tập hợp các công cụ, các kỹ thuật trợ giúp cho thiết kế
các chi
tiết và các hệ thống khác nhau: hệ thống cơ, hệ thống điện, hệ thống điện tử….
Đồ hoạ trình bày (Presentation Graphics): gồm các công cụ giúp hiển thị các số liệu
thí nghiệm một cách trực quan, dựa trên các mẫu đồ thị hoặc các thuật toán có sẵn.
Đồ hoạ hoạt hình và nghệ thuật: bao gồm các công cụ giúp cho các hoạ sĩ, các nhà
thiết kế phim hoạt hình chuyên nghiệp làm các kỹ xảo hoạ
t hình, vẽ tranh... Ví dụ: phần
mềm 3D Studio, 3D Animation, 3D Studio Max.
1.2.4. Các ứng dụng tiêu biểu của kỹ thuật đồ họa
Đồ hoạ máy tính là một trong những lĩnh vực lý thú nhất và phát triển nhanh nhất của tin
học. Ngay từ khi xuất hiện nó đã có sức lôi cuốn mãnh liệt, cuốn hút rất nhiều người ở
nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học, nghệ thuật, kinh doanh, quản lý...Tính hấp dẫn
của nó có thể được minh hoạ rất trực quan thông qua các ứng dụng của nó.
 Xây dựng giao diện người dùng (User Interface)
Giao diện đồ
hoạ thực sự là cuộc cách mạng mang lại sự thuận tiện và thoải mái cho
người dùng ứng dụng. Giao diện WYSIWYG và WIMP đang được đa số người dùng ưu
thích nhờ tính thân thiện, dễ sử dụng của nó.
 Tạo các biểu đồ trong thương mại, khoa học, kỹ thuật
Các ứng dụng này thường được dùng để tóm lược các dữ liệu về tài chính, thống kê,
kinh tế, khoa học, toán họ
c... giúp cho nghiên cứu, quản lý... một cách có hiệu quả.
 Tự động hoá văn phòng và chế bản điện tử
 Thiết kế với sự trợ giúp của máy tính (CAD_CAM)
 Lĩnh vực giải trí, nghệ thuật và mô phỏng
 Điều khiển các quá trình sản xuất (Process Control)
 Lĩnh vực bản đồ (Cartography)
 Giáo dục và đào tạo








Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

12
Một số ví dụ của ứng dụng kỹ thuật đồ hoạ:






















Hình 1.4 Các ứng dụng của kỹ thuật đồ hoạ










Hình 1.5 Hệ ứng dụng CAD - CAM
Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

13
1.2.5. Các chuẩn giao diện của hệ đồ hoạ
Mục tiêu căn bản của các chuẩn cho phần mềm đồ hoạ là đảm bảo tính tương thích. Khi
các công cụ được thiết kế với hàm đồ hoạ chuẩn, phần mềm có thể được di chuyển một
cách dễ dàng từ hệ phần cứng này sang hệ phần cứng khác và được dùng trong nhiều cài
đặt và ứng dụng khác nhau.
GKS (Graphics Kernel System): chuẩn xác định các hàm đồ hoạ chuẩn, được thiết
kế như m
ột tập hợp các công cụ đồ hoạ hai chiều và ba chiều.
GKS Functional Description, ANSI X3.124 - 1985.GKS - 3D Functional
Description, ISO Doc #8805:1988.
CGI (Computer Graphics Interface System): hệ chuẩn cho các phương pháp giao
tiếp với các thiết bị ngoại vi.
CGM (Computer Graphics Metafile): xác định các chuẩn cho việc lưu trữ và chuyển
đổi hình ảnh.
VRML (Virtual Reality Modeling Language): ngôn ngữ thực tại ảo, một hướng phát
triển trong công nghệ hiển thị được đề xuất bởi hãng Silicon Graphics, sau đó đã được
chuẩn hóa như một chuẩn công nghiệp.
PHIGS (Programmers Hierarchical Interactive Graphics Standard): xác
định các
phương pháp chuẩn cho các mô hình thời gian thực và lập trình hướng đối tượng.
PHIGS Functional Description, ANSI X3.144 - 1985.+ Functional Description,
1988, 1992.
OPENGL thư viện đồ họa của hãng Silicon Graphics, được xây dựng theo đúng
chuẩn của một hệ đồ họa năm 1993.
DIRECTX thư viện đồ hoạ của hãng Microsoft, Direct X/Direct3D 1997
1.3. PHẦN CỨNG ĐỒ HOẠ (GRAPHICS HARDWARE)
1.3.1. Các thành phần phần cứng của hệ đồ hoạ tương tác
CPU:thực hiện các chương trình ứng dụng.
Bộ xử lý hiển thị (Display Processor): thực hiện công việc hiển thị dữ liệu đồ hoạ.
Bộ nhớ hệ thống (System Memory): chứa các chương trình và dữ liệu đang thực
hiện.
Gói phần mềm đồ hoạ (Graphics Package): cung cấp các hàm đồ hoạ cho chương
trình ứng dụng
Phần mềm ứng dụng (Application Program): phần mềm đồ hoạ
ứng dụng.
Bộ đệm ( Frame buffer): có nhiệm vụ chứa các hình ảnh hiển thị.
Bộ điều khiển màn hình (Video Controller): điều khiển màn hình, chuyển dữ liệu
dạng số ở frame buffer thành các điểm sáng trên màn hình.



Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

14











Hình 1.6 Các thành phần cứng của hệ đồ hoạ tương tác
1.3.2. Máy in
Dot size: đường kính của một điểm in bé nhất mà máy in có thể in được
Addressability: khả năng địa chỉ hoá các điểm in có thể có trên một đơn vị độ dài (dot per
inch)
Dot size Point per inch
8 - 20/ 100 inch 200, 600
5/1000 inch 1500
Máy vẽ 6,15/1000 inch 1000, 2000

1.3.3. Màn hình CRT

Một chùm các tia điện tử (tia âm cực) phát ra từ một súng điện tử, vượt qua cuộn lái tia dẫn đến vị
trí xác định trên màn hình được phủ một lớp phosphor. Tại mỗi vị trí tương tác với tia điện tử hạt
phosphor sẽ phát lên một chấm sáng nhỏ. Nhưng chấm sáng sẽ mờ dần rất nhanh nên cần có cách
nào nó duy trì ảnh trên màn hình. Một trong các cách là: lặp đi lặp lại nhiều lần việ
c vẽ lại ảnh
thật nhanh bằng cách hướng các tia điện tử trở lại ví trí cũ. Gọi là làm tươi (refresh CRT).
Số lượng tối đa các điểm có thể hiển thị trên một CRT được gọi là độ phân giải
(Resolution). Hay độ phân giải là số lượng các điểm có thể được vẽ theo chiều ngang và
chiều dọc (được xem như tổng số điểm theo mỗi hướng) của màn hình.
Kích thước vật lý của màn hình đồ hoạ được tính từ độ dài của đường chéo màn
hình. Thường dao động từ 12-27 inch, ho
ặc lớn hơn.
Thuộc tính khác của màn hình là tỷ số phương (aspect ratio). Nó là tỷ lệ của các
điểm dọc và các điểm ngang cần để phát sinh các đoạn thẳng có độ dài đơn vị theo cả hai
hướng trên màn hình. Màn hình có tỷ số phương khác một, thì hình vuông hiển thị trên đó
thành hình chữ nhật còn hình tròn thành hình ellipse.



Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

15




















Hình 1.7 Công nghệ màn hình CRT
Màn hình dạng điểm (Raster Display): thường gặp nhất trong số các dạng màn hình
sử dụng CRT trên công nghệ truyền hình. Mỗi điểm trên màn hình được gọi là pixel. Các
thông tin về ảnh hiển thị trên màn hình được lưu trữ trong một vùng bộ nhớ gọi là vùng
đệm làm tươi (Refresh buffer) hay là vùng đệm khung (Frame Buffer). Vùng lưu trữ tập
các giá trị cường độ sáng củ
a toàn bộ các điểm trên màn hình và luôn tồn tại một cách
song ánh giữa mỗi điểm trên màn hình và mỗi phần tử trong vùng này.
Để tạo ra hình ảnh đen trắng, đơn giản chỉ cần lưu thông tin của mỗi Pixel là một bít
(0,1) (xem hình 1.8). Trong trường hợp ảnh nhiều màu thì cần nhiều bít hơn, nếu thông tin
mỗi pixel được lưu bằng b bít thì ta có thể có 2
b
giá trị màu phân biệt cho pixel đó.







SONY Trinitron NEC Hybrid Hitachi EDP Standard Dot-trio
Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

16
Ví dụ mô hình đồ hoạ điểm ngôi nhà và ngôi sao.










Hình 1.8 Song ánh giữa vùng đệm khung và màn hình
Trong các màn hình màu, người ta định nghĩa tập các màu làm việc trong một bảng
tra (LookUp Table - LUT). Mỗi phần tử của LUT được định nghĩa một bộ ba giá trị
(RGB) mô tả một màu nào đó. Khi cần sử dụng một màu, ta chỉ cần chỉ định số thứ tự
(index) tương ứng của màu đó trong LUT, số phần tử trong bảng LUT chính là số màu có
thể được hiển thị cùng một lúc trên màn hình.
X: 0 ¸ Xmax2 màu/ 1 bit
Y: 0 ¸ Ymax16 màu/ 4 bit ;256 màu/ 8bit
2
16
màu/ 16 bit ; 2
24
màu/ 24 bit
640 x 480 x 16 → Video RAM = 2MB
1024 x 1024 x 24 → Video RAM = 24MB
Việc làm tươi trên màn hình dạng này được thực hiện ở tốc độ 60 - 80 khung/giây.
Đôi khi tốc độ làm tươi còn được biểu diễn bằng đơn vị Hertz (Hz - số chu kỳ trên/giây),
trong đó một chu kỳ tương ứng với một khung (frame). Vậy tốc độ làm tươi 60
khung/giây đơn giản là 60 Hz. Khi đạt đến cuối mỗi dòng quét, tia điện tử quay trở lại
bên trái của màn hình để bắt đầu dòng quét kế tiế
p. Việc quay trở về bên trái màn hình sau
khi làm tươi mỗi dòng quét được gọi là tia hồi ngang (Horizontal retrace). Và tới cuối mỗi
frame, tia điện tử (tia hồi dọc - Vertical retrace) quay trở lại góc bên trái của màn hình để
chuẩn bị bắt đầu frame kế tiếp.





Hình 1.9 Quét mành và quét dòng của màn hình CRT
1.3.4. Màn hình tinh thể lỏng (Liquid Crystal Display – LCD)
Dựa vào công nghệ truyền ánh sáng qua điện cực mà đặt giữa là cuộn dây xoắn. Khi chưa
có từ trường (chưa có dòng điện) ở cuộn dây thì ánh sáng truyền thẳng, khi có từ trường
thì ánh sáng truyền đổi chiều.
Interface to
host computer
Display
processo
(Display
commands
)
(interaction data)
Keyboard
Data input
00000000000000
00000000000100
0000
Bitmap refresh buffer
(the 1’s are accentuated
for contrast)
CRT
Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

17














Hình 1.10 Công nghệ truyền ánh sáng trong màn hình tinh thể lỏng
CRT Displays (màn hình CRT)
Advantages (ưu điểm)
Đáp ứng nhanh (có độ phân giải cao)
Màu sắc đa dạng (Có độ sâu và rộng)
Màu sắc bão hoà và tự nhiên
Công nghệ không quá đắt và hoàn thiện
Góc nhìn rộng, tương phản và độ sáng cao
Disadvantages (nhược điểm)
Lớn và nặng (typ. 70x70 cm, 15 kg)
Tiêu tốn nguồn điện cao (typ. 140W)
Có hại cho sức khoẻ vì trường điện từ và từ tính
Màn hình nhấp nháy (at 50-80 Hz)
Hình hay b
ị méo tại 4 góc
LCD Displays (màn hình tinh thể lỏng)
Advantages (ưu điểm)
Hình dáng nhỏ, trọng lượng nhẹ (approx 1/6 of
CRT, typ. 1/5 of CRT)
Tiêu tốn nguồn thấp (typ. 1/4 of CRT)
Màn hình phẳng tuyệt đối nên không méo tại
các góc
Màu sắc đều, ảnh sinh động
Không bị hiệu ứng điện từ trường
Có thể màn hình vừa lớn vừa rộng (>20 inch)
Disadvantages (nhược điểm)
Giá thành cao (presently 3x CRT)
Góc nhìn hẹp hơn (typ. +/- 50 degrees)
độ tương phản thấp (typ. 1:100)
độ chói (độ ng
ời) thấp hơn (typ. 200 cd/m
2
)


Tóm tắt chương:
Sự ra đời của đồ hoạ máy tính thực sự là cuộc cách mạng trong giao tiếp giữa người dùng
và máy tính. Với lượng thông tin trực quan, đa dạng và phong phú được truyền tải qua
hình ảnh. Các ứng dụng đồ hoạ máy tính đã lôi cuốn nhiều người nhờ tính thân thiện, dễ
dùng, kích thích khả năng sáng tạo và tăng đáng kể hiệu suất làm việc.
Chương 1: Tổng quan về kỹ thuật đồ hoạ

18
Đồ hoạ máy tính ngày nay được được ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khoa học, kỹ thuật, nghệ thuật, kinh doanh, quản lý…Các ứng dụng đồ hoạ rất đa dạng,
phong phú và phát triển liên tục không ngừng. Ngày nay, hầu như không có chương trình
ứng dụng nào mà không sử dụng kỹ thuật đồ hoạ để làm tăng tính hấp dẫn cho mình.
Một hệ thống đồ hoạ bao giờ cũng g
ồm hai phần chính đó là phần cứng và phần
mềm. Phần cứng bao gồm các thiết bị hiển thị (thiết bị xuất) và các thiết bị nhập. Tiêu
biểu nhất là màn hình, có hai loại màn hình thông dụng là CRT và LCD.
Bài tập:
1. Cấu tạo và nguyên lý hoạt động của màn hình dạng điểm. Nêu các khái niệm
vùng đệm khung, độ phân giải, tỷ số phương.... của màn hình loại này?
2. Ý nghĩa và hoạt động của bảng tra LUT?
3. Tính Video Ram của các màn hình lần lượt có độ phân giải là 640x480,
1024x768, 1280x1024 mà có mỗi pixel được mô tả lần lượt là 8bít, 12 bit, 24
bit.
4. Nếu chúng ta dùng các giá trị 12bit cho mỗi pixel trong một bảng tham chiếu
lookup table, có bao nhiêu hạng mục mà lookup table có được?
5. T
ại sao phải chuẩn hoá các phần mềm đồ hoạ? Liệt kê các chuẩn hóa đó.



















Chương 2: Các giải thuật sinh thực thể cơ sở

19
CHƯƠNG 2: CÁC GIẢI THUẬT SINH THỰC THỂ CƠ SỞ
2.1. CÁC HỆ THỐNG TOẠ ĐỘ TRONG ĐỒ HOẠ
Trong lĩnh vực kỹ thuật đồ họa, chúng ta phải hiểu được rằng thực chất của đồ họa là làm
thế nào để có thể mô tả và biến đổi được các đối tượng trong thế giới thực trên máy tính.
Bởi vì, các đối tượng trong thế giới thực được mô tả bằng tọa độ thực. Trong khi đó, hệ
tọa độ thiết bị lại sử dụng hệ
tọa độ nguyên để hiển thị các hình ảnh. Đây chính là vấn đề
cơ bản cần giải quyết. Ngoài ra, còn có một khó khăn khác nữa là với các thiết bị khác
nhau thì có các định nghĩa khác nhau. Do đó, cần có một phương pháp chuyển đổi tương
ứng giữa các hệ tọa độ và đối tượng phải được định nghĩa bởi các thành phần đơn giản
như thế nào để có thể mô tả
gần đúng với hình ảnh thực bên ngoài.
Hai mô hình cơ bản của ứng dụng đồ họa là dựa trên mẫu số hóa và dựa trên đặc
trưng hình học. Trong ứng dụng đồ họa dựa trên mẫu số hóa thì các đối tượng đồ họa
được tạo ra bởi lưới các pixel rời rạc. Các pixel này có thể đuợc tạo ra bằng các chương
trình vẽ, máy quét, ... Các pixel này mô tả tọa độ xác định vị trí và giá trị
mẫu. Thuận lợi
của ứng dụng này là dể dàng thay đổi ảnh bằng cách thay đổi màu sắc hay vị trí của các
pixel, hoặc di chuyển vùng ảnh từ nơi này sang nơi khác. Tuy nhiên, điều bất lợi là không
thể xem xét đối tượng từ các góc nhìn khác nhau. Ứng dụng đồ họa dựa trên đặc trưng
hình học bao gồm các đối tượng đồ họa cơ sở như đoạn thẳng, đa giác,.... Chúng
được lưu
trữ bằng các mô hình và các thuộc tính. Ví dụ : đoạn thẳng được mô hình bằng hai điểm
đầu và cuối, có thuộc tính như màu sắc, độ dày. Người sử dụng không thao tác trực tiếp
trên các pixel mà thao tác trên các thành phần hình học của đối tượng.
2.1.1. Hệ toạ độ thực (WCS – World Coordinate System)
Một trong những hệ tọa độ thực thường được dùng để mô tả các đối tượng trong thế giới
thực là hệ tọa độ Descartes. Với hệ tọa độ này, mỗi điểm P được biểu diễn bằng một cặp
tọa độ P(x
p
,y
p
,z
p
) với x
p
, y
p
,z
p


R

Hình 2.1 Hệ tọa độ thực.
Ox,Oy, Oz là trục toạ độ

x
p ,
y
p,
z
p
: toạ độ của P
2.1.2. Hệ toạ độ thiết bị (DCS – Device Coordinate System)
Hệ tọa độ thiết bị (device coordinates) được dùng cho một thiết bị xuất cụ thể nào đó, ví
dụ như máy in, màn hình,.. Trong hệ tọa độ thiết bị thì các điểm cũng được mô tả bởi cặp
Chương 2: Các giải thuật sinh thực thể cơ sở

20
tọa độ (x,y). Tuy nhiên, khác với hệ tọa độ thực là x, y

N. Điều này có nghĩa là các
điểm trong hệ tọa độ thực được định nghĩa liên tục, còn các điểm trong hệ tọa độ thiết bị
là rời rạc. Ngoài ra, các tọa độ x, y của hệ tọa độ thiết bị chỉ biểu diễn được trong một giới
hạn nào đó của N. Ví dụ : Độ phân giải của màn hình trong chế độ đồ họa là 640x480. Khi
đó, x

(0,639) và y

(0,479) (xem hình 2.2).

Hình 2.2 Hệ tọa độ trên màn hình
2.1.3. toạ độ thiết bị chuẩn (NDCS – Normalized Device Coordinate System)

Do cách định nghĩa các hệ tọa độ thiết bị khác nhau nên một hình ảnh hiển thị được trên
thiết bị này là chính xác thì chưa chắc hiển thị chính xác trên thiết bị khác. Người ta xây
dựng một hệ tọa độ thiết bị chuẩn đại diện chung cho tất cả các thiết bị để có thể mô tả các
hình ảnh mà không phụ thuộc vào bất kỳ thiết bị nào.
Trong hệ tọa độ chu
ẩn, các tọa độ x, y sẽ được gán các giá trị trong đoạn từ [0,1].
Như vậy, vùng không gian của hệ tọa độ chuẩn chính là hình vuông đơn vị có góc trái
dưới (0, 0) và góc phải trên là (1, 1).
Quá trình mô tả các đối tượng thực như sau (xem hình 2.3):

Hình 2.3 Hệ tọa độ trên màn hình
.
2.2. ĐIỂM VÀ ĐOẠN THẲNG
2.2.1. Điểm
Trong hệ toạ độ hai chiều (mặt phẳng) thì điểm được biểu diễn P(x,y), ngoài ra nó còn có tính
chất màu sắc. Ví dụ để vẽ một điểm ta có hàm putpixel(x,y,color).
2.2.2. Đoạn thẳng
 Biểu diễn tường minh: y = f(x)
Một đoạn thẳng được xác định nếu biết 2 điểm thuộc nó. Phương trình đoạn thẳng đi
qua 2 điểm P (x
1
,y
1
) và Q(x
2
,y
2
) như sau:




Chương 2: Các giải thuật sinh thực thể cơ sở

21

(y-y
1
)/( x-x
1
) = ( y
2
-y
1
)/( x
2
-x
1
)
(y-y
1
)(x
2
-x
1
)=(x-x
1
)(y
2
-y
1
)
(x
2
-x
1
)y=(y
2
-y
1
)x + y
1
(x
2
-x
1
) - x
1
(y
2
-y
1
)
y = ((y
2
-y
1
)/(x
2
-x
1
))x + y
1
- ((y
2
-y
1
)/(x
2
-x
1
))x
1

y = kx + b
k = (y
2
-y
1
)/(x
2
-x
1
) Độ dốc hay hệ số góc của đường
b = y
1
- kx
1
Đoạn chắn trên trục y
∆y = k∆x (tức là khi x thay đổi thì y thay đổi theo)








Hình 2.4 Vẽ đoạn thẳng PQ
 Biểu diễn không tường minh:
ax+by+c=0
Ta có : (y
2
-y
1
)x - (x
2
-x
1
)y + (x
2
-x
1
)y
1
- (y
2
-y
1
)x
1
= 0
(y
2
-y
1
)x - (x
2
-x
1
)y + x
2
y
1
- x
1
y
2
= 0
hay ax + by + c = 0
Trong đó a = (y
2
-y
1
), b = -(x
2
-x
1
) và c = x
2
y
1
- x
1
y
2

 Biểu diễn thông qua tham số:

P(u) = P
1
+ u(P
2
- P
1
) có u ∈[0,1]
x(u) = x
1
+ u( x
2
- x
1
)
y (u)= y
1
+ u( y
2
- y
1
)
2.3. CÁC GIẢI THUẬT XÂY DỰNG THỰC THỂ CƠ SỞ
2.3.1. Giải thuật vẽ đoạn thẳng thông thường
Nguyên lý chung: cho một thành phần toạ độ x hay y biến đổi theo từng đơn vị và tính độ
nguyên còn lại sao cho gần với toạ độ thực nhất.
Ta có
()
11
12
12
yxx
xx
yy
y −−


=

Cho x thay đổi tìm y, trong bài này cho x
1
thay đổi tiến tới x
2
ta chọn đơn vị nhỏ
nhất của màn hình ∆x=1.
Giải thuật thông thường:
void dline(int x1,int y1, int x2,int y2, int color) {
float y; int x;
for (x=x1; x<=x2; x++) {
y = y1 + (x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1) ;
putpixel(x, Round(y), color );
} }
b
P(x
1
, y
1
)
Q(x
2
, y
2
)
Chương 2: Các giải thuật sinh thực thể cơ sở

22
2.3.2. Giải thuật Bresenham

1960 Bresenham thuộc IBM tìm ra các điểm gần với đường thẳng dựa trên độ phân giải
hữu hạn. Giải thuật này loại bỏ được các phép toán chia và phép toán làm tròn như ta đã
thấy trong giải thuật trên.
Xét đoạn thẳng với 0 < k < 1

Hình 2.5 Mô tả giải thuật Bresenham (0<k<1)
Gọi (x
i+1
,y
i+1
) là điểm thuộc đoạn thẳng, ta có y
i+1
=k(x
i
+1)+b
d
1
= y
i+1
- y
i
= k(x
i
+1) + b - y
i

d
2
= y
i
+1 – y
i+1
= y
i
+1 - k(x
i
+ 1) - b
- Nếu d
1
<= d
2
=> y
i
+1
= y
i

- Ngược lại d
1
> d
2
=> y
i
+1
= y
i
+1
Đặt D = d
1
- d
2
= 2k(x
i
+ 1) - 2y
i
+ 2b - 1
Có k=∆y/∆x và đặt P
i
= ∆xD = ∆x (d
1
- d
2
)
P
i
= ∆x(2∆y/∆x(x
i
+1)- 2y
i
+2b-1) = 2∆yx
i
+2∆y -2∆xy
i
+ 2b∆x -∆x
Ta tính bước tiếp:
P
i+1
= 2∆yx
i+1
+2∆y -2∆xy
i+1
+ 2b∆x -∆x
P
i+1
- P
i
= -2∆x(y
i+1
-y
i
) + 2∆y(x
i+1
-x
i
)
Có x
i+1
=x
i
+1 nên:
P
i+1
- P
i
= - 2∆x(y
i+1
-y
i
) + 2∆y = 2∆y - 2∆x(y
i+1
-y
i
)
Nếu P
i
<= 0 thì y
i

+1
= y
i
→ P
i+1
= P
i
+ 2∆y
Nếu P
i

> 0 thì y
i+1
= y
i
+1 → P
i+1
= P
i
+ 2∆y - 2∆x
Tính giá trị đầu: P
1
?
P
1
= ∆x(d
1
- d
2
) = ∆x(2∆y/∆x(x
1
+1)- 2y
1
+2b-1)
= 2∆yx
1
+2∆y -2∆xy
1
+ 2b∆x -∆x
Có y
1
=kx
1
+ b = ∆y/∆x x
1
+b
P
1
= 2∆yx
1
+2∆y -2∆x((∆y/∆x)x
1
+b) + 2b∆x -∆x
= 2∆yx
1
+2∆y -2∆yx
1
- 2b∆x + 2b∆x -∆x
P
1
= 2∆y - ∆x



Chương 2: Các giải thuật sinh thực thể cơ sở

23
















Hình 2.6 Sơ đồ khối thuật toán
Bresenham cho đường thẳng
void Bre_line(int x1, int y1,
int x2, int y2, int c){
int x, y, dx, dy,p;
y = y1;
dx = x2 - x1;
dy = y2 - y1;
p = 2*dy - dx;
for (x=x1; x<=x2; x++) {
putpixel(x, y, c);
if (p <= 0)
p+=2*dy; //p=p+2dy
else {
p+=2*(dy-dx);//p=p+2dy-2dx
y++;
}
}
}
Xét 4 trường hợp của k :
0<k<1 k>1 -1<k<0 k<-1
int p=2*dy-dx; int p=dy-2*dx; int p=2*dy+dx; int p=-dy-2*dx;
if(p>=0) {
p+=2*dy-2*dx;
y++;
} else
p+=2*dy;
if(p<=0){
p+=2*dy-2*dx;
x++;
} else
p+=-2*dx;
if(p<=0) {
p+=2*dy+2*dx;
y--;
} else
p+=2*dy;
if(p>=0) {
p+=-2*dy-2*dx;
x--;
} else
p+=-2*dx;
2.3.3. Giải thuật trung điểm-Midpoint
Jack Bresenham 1965/Pitteway 1967, áp dụng cho việc sinh các đường thẳng và đường
tròn 1985. Xét trung điểm của đoạn AB (M)
Nếu M ở trên đoạn thẳng AB thì chọn B còn
M ở dưới đoạn thẳng AB chọn A
Công thức đơn giản hơn, tạo được các điểm tương tự như với Bresenham
d = f(x
i

+ 1, y
i

+ 1/2) là trung điểm của đoạn AB




P > 0
B¾t ®Çu
x = x1 ;
y = y1;
dx = x2 - x1;
dy = y2 - y1;
P = dx - 2dy;
Putpixel (x ,y);
x < x2
KÕt thóc
P = P - 2dy
P = P - 2dy + 2dx
y = y + 1
yes
no
No
yes
x = x + 1
p= p+2dy-2dx
p=p+2dy
x=x1;y=y1;
dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
p<=0
Chương 2: Các giải thuật sinh thực thể cơ sở

24






Hình 2.7 Mô tả giải thuật Midpoint
So sánh hay kiểm tra M sẽ được thay bằng việc xét giá trị d.

d > 0 điểm B được chọn khi đó y
i
+1
= y
i

 d < 0 điểm A được chọn khi đó y
i+1
= y
i

+ 1
Trường hợp d = 0 chúng ta có thể chọn điểm bất kỳ hoặc A, hoặc B.
Sử dụng phương pháp biểu diễn không tường minh
f(x,y)= ax +by +c =0 (1) dx =x
2
-x
1
dy =y
2
-y
1

Biểu diễn tường minh:
y= (dy/dx)x +B hay f(x,y)=0= xdy - ydx +Bdx (2)
So sánh (1) và (2) ta có a=dy, b=-dx và c= Bdx
Có f(x,y)=0 với mọi (x,y) thuộc đường thẳng
Đặt d
i
=f(x
i
+1,y
i
+1/2) = a(x
i
+1) +b(y
i
+1/2) +c
 Nếu chọn A (d<0) thì M sẽ tăng theo 2 hướng x,y
d
i+1
=f(x
i
+2,y
i
+3/2) = a(x
i
+2) +b(y
i
+3/2) +c
d
i+1
– d
i
= a+b Hay d
i+1
= d
i
+ dy - dx
 Nếu chọn B (d>0) thì M sẽ tăng theo x
d
i+1
=f(x
i
+2,y
i
+1/2) = a(x
i
+2) +b(y
i
+1/2) +c
d
i+1
- d
i
= a Hay d
i+1
= d
i
+ dy
Tính d
1
? d
1
= f(x
1
+1,y
1
+1/2) = a(x
1
+1) +b(y
1
+1/2) +c
= ax
1
+by
1
+c +a +1/2 b = f(x
1
,y
1
) +a +b/2
Có (x
1
,y
1
) là điểm bắt đầu, nằm trên đoạn thẳng nên f(x
1
,y
1
) = 0
Vậy d
1
= a+ b/2 = dy - dx/2
A
B
d<0 d>0
A
Chương 2: Các giải thuật sinh thực thể cơ sở

25
Hình 2.8 Sơ đồ khối giải thuật Midpiont
cho đoạn thẳng
/* Thuat toan Midpoint de ve
doan thang (0<k<1) */
void Mid
_line(int x1, int y1,
int x2, int y2, int c)
{ int x, y, dx, dy,d;
y = y1;
dx = x2 - x1;
dy = y2 - y1;
d= dy - dx/2;
for (x=x1; x<=x2; x++) {
putpixel(x, y, c);
if (d <= 0)
d = d + dy;
else {
y ++;
d = d + dy - dx;
}
}
}
2.3.3. Giải thuật sinh đường tròn (Scan Converting Circles)(Bresenham)
 Phương trình đường tròn đi qua tâm có toạ độ (x
c
,y
c
) là:
(x - x
c
)
2
+ (y - y
c
)
2
= r
2

Hình tròn là hình đối xứng tám cách








Hình 2.9 Hình tròn đối xứng 8 phần
Để đơn giản ta xét tâm trùng gốc 0 thì phương trình đơn giản : x
2
+ y
2
= r
2

Ta xét các điểm tạo ra từ góc phần tư thứ 2: từ 90
0
đến 45
0
, thực hiện theo hướng
+x, -y
d <= 0
B¾t ®Çu
x = x1 ;
y = y1;
dx = x2 - x1;
dy = y2 - y1;
d = dy - dx/2;
Putpixel (x ,y);
x < x2
KÕt thóc
d = d + dy
d = d + dy - dx
y = y + 1
yes
no
No
yes
x = x + 1