Thể tích vật tròn xoay

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 144


Chú ý: Khi tìm thể tích của vật thể tròn xoay ta cần xác đònh:
* Miền hình phẳng (H) sinh ra. ((H) giới hạn bởi 4 đường: x =..., x = ..., y = ..., y = ...)
* (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp.
Nếu (H) quay quanh trục Ox thì hàm dưới dấu tích phân là y = f(x), biến x và hai cận
là x. Nếu (H) quay quanh trục Oy thì hàm dưới dấu tích phân là x = f(y), biến y và hai
cận là y.

Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
(C):yf(x);y0;xa;xb(ab)====<sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công
thức:
bb
22
aa
Vy.dx[d(x)].dx=p=p
òò






Diện tích:
b
a
Sf(x).dx=
ò
Thể tích:
b
2
a
V[f(x)].dx=p
ò

Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
(C):xf(y),x0,ya,yb(ab)====<sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi công
thức:
bb
22
aa
Vx.dy[f(y)].dy=p=p
òò







Diện tích:
b
a
Sf(y)dy.=
ò
Thể tích:
b
2
a
V[f(y)].dy=p
ò

y
x b a
(H)
(C)
y
x
(H)
(C)
a
b


y
x
b
a
(H)
(C)
0
y
x
(C)
a
b
0
§Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 145
Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
12
(C):yf(x),(C):yg(x),xa,xb(ab)====< với f(x) và g(x) cùng dấu) sinh ra khi
quay quanh trục Ox được tính bởi:
b
22
a
Vf(x)g(x).dx=p-
ò
(3)
* f(x) và g(x) cùng dấu có nghóa là hai phần đồ thò cùng nằm một phía đối với trục Ox,
với mọi x Ỵ đoạn [a; b].
* Để bỏ dấu “| |” trong công thức (3) ta chú ý các trường hợp sau:

TH1:
12
(C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]:Ç=Ỉ>³"Ỵ

b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p-
ò




TH2:
12
(C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]:Ç=Ỉ<£"Ỵ

b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p-
ò




TH3:
12
(C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ
x = a, x = b và d(x) > g(x) ³ 0, x[a;b]:"Ỵ

b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p-
ò




TH4:
12
(C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ
x = a và f(x) < g(x) £ 0, x[a;b]:"Ỵ

b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p-
ò



y
x 0
(H)
a b
(C
2
)
(C
1
)
y
y
x
0
(H)
a b
(C
1
)
(C
2
)
y
y
x
(H)
A B
a b
0
(C
2
)
(C
1
)
y
x
(H)
A B
a b
0
(C
2
)
(C
1
)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 146
TH5:
12
(C)cắt(C) tại 3 điểm A, B, C, trong đó x
A
= a
x
B
= b, x
C
= c với a < c < b như hình bên:

12
(3)VVVÛ=+

cb
2222
ac
[f(x)g(x)]dx[g(x)f(x)]dx.=p-+p-
òò



Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
12
(C):xf(y),(C):xg(y),ya,yb(ab)====< với f(y) và g(y) cùng dấu) sinh ra khi
quay quanh trục Oy được tính bởi:
b
22
a
Vf(y)g(x).dy=p-
ò
(4)


TH1:
1212
(C)(C)vàxf(y)xg(y)0,Ç=Ỉ=>=³
với mọi y[a;b].Ỵ

b
22
a
(4)V[f(y)g(y)].d=p-
ò




TH3:
12
(C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có tung độ

AB
yayb=<= và
12
xf(y)xg(y)0,=>=³
với mọi y[a;b].Ỵ

b
22
a
(4)V[f(y)g(y)].d=p-
ò



* Các TH2, TH4 và TH5 thực hiện tương tự như vấn đề 3.

Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
= 8x và đường thẳng x = 2. Tính thể tích
khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên:
a/ quanh trục hoành
b/ quanh trục tung.
Giải:
a/
2
(P):y8x(P):y8x(x0)=Û=±³
Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh
trục Ox là:
y
x
C
(C
1
)
(C
2
)
V
2

V
1

A
a c b
B
y
x
2

(H)
C
2

C
1

b
a
A
B
x
1

x
(H) x
1

x
2

y
x 0
C
2
C
1

a
b
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 147

22
2
00
Vy.dx8x.dx16=p=p=p
òò
(đvtt).
b/
22
1
(P):y8xxy
8
=Û=
Thể tích V khối ... quanh trục tung là:

2
44
2224
14
11899
V2ydu2ydy...
86432
--
p
ỉưỉư
=p-=p-==
ç÷ç÷
èøèø
òò
(đvtt).
Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) :
2
y2xx=-. Tính
thể tích của khối tròn xoay khi cho (H)
a/ quay quanh trục hoành
b/ quay quanh trục tung.
Giải:
a/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là:

22
222
00
16
Vy.dx(2xx)dx...
15
p
=p=p-==
òò
(đvtt).
b/
22
(P):y2xxx2xy0(1)=-Û-+=

11
22
'1y00y1
x11y,(0x1)
(1)
x11y,(1x2)
D=-³Û££
é
=--££
Û
ê
ê
=+-££
ë

Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục tung là:

111
22
212121
000
8
V(xx)dy(xx)(xx)dy2(21y)dy....
3
p
=p-=p+-=p-==
òòò

Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip:
2
2
x
y1
4
+= quay quanh trục hoành. Tính thể tích của
khối tròn xoay được tạo nên.
Giải:
22
222
xx1
(E):y1y1y4x,(|x|2)
442
+=Û=-Û=±-£
Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là:

22
22
22
8
Vy.dx(4x).dx...
43
--
pp
=p=-==
òò
(đvtt).
Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: yx,y2x==- và y = 0.
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy.
Giải:
y
x
0
–1
2 –2
1
y
x 2 1 0
(H)
1
(P)
x
2

x
1

x
y
4
0

x = 2
2
(P)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 148
·
1
yxxx2=Û==
·
2
y2xxx2y.=-Û==-
· Thể tích vật thể tròn xoay
khi quay (D) quanh trục Oy là:

11
22222
21
00
V(xx)dy[(2y)(y)]=p-=p--
òò


32
15
p
= (đvtt).

BÀI TẬP
Bài 18. Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miền (D) giới hạn
bởi các đường:
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/
2
xy50;xy30.+-=+-=
c/
2
yx;yx.== d/
22
yx4x6;yx2x6.=-+=--+
e/
2
yx(x1).=- f/
x
yx.e;x1;y0(0x1)===££
g/
xx2
ye;y;x0;x2.
-+
==== h/
3
yxln(1x);x1.=+=
i/
2
(P):yx(x0),y3x10;y1=>=-+= (miền (D)) nằm ngoài (P)).
k/
44
ycosxsinx;y0;x;x.
2
p
=+===p
ĐS: a/
2
2(ln21);p- b/
153
;
5
p
c/
3
;
10
p

d/ 3p e/ .
105
p
f/
2
(e1)
;
4
p-

g/
22
(e1);p- h/ (2ln21).
3
p
- i/
56
.
5
p
k/
2
3
.
8
p

Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình
phẳng giới hạn bởi các đường:
a/
2
yx;y1;y2.===. b/
22
yx;xy.==
c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2.
ĐS: a/
3
;
2
p
b/
3
;
10
p
c/
2
24.p

Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong
1
y;
x
= trục Ox; x = 1 và x = t
a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox.
b/ Tính:
t
limS(t)
®+¥

t
limV(t).
®+¥

y
x
4 2 1 0
1
2
yx=
y2x=-
A