Thể tích vật tròn xoay

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Thể tích vật tròn xoay

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 144


Chú ý: Khi tìm thể tích của vật thể tròn xoay ta cần xác đònh:
* Miền hình phẳng (H) sinh ra. ((H) giới hạn bởi 4 đường: x =..., x = ..., y = ..., y = ...)
* (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp.
Nếu (H) quay quanh trục Ox thì hàm dưới dấu tích phân là y = f(x), biến x và hai cận
là x. Nếu (H) quay quanh trục Oy thì hàm dưới dấu tích phân là x = f(y), biến y và hai
cận là y.

Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
(C):yf(x);y0;xa;xb(ab)====<sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công
thức:
bb
22
aa
Vy.dx[d(x)].dx=p=p
òò






Diện tích:
b
a
Sf(x).dx=
ò
Thể tích:
b
2
a
V[f(x)].dx=p
ò

Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
(C):xf(y),x0,ya,yb(ab)====<sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi công
thức:
bb
22
aa
Vx.dy[f(y)].dy=p=p
òò







Diện tích:
b
a
Sf(y)dy.=
ò
Thể tích:
b
2
a
V[f(y)].dy=p
ò

y
x b a
(H)
(C)
y
x
(H)
(C)
a
b


y
x
b
a
(H)
(C)
0
y
x
(C)
a
b
0
§Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 145
Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
12
(C):yf(x),(C):yg(x),xa,xb(ab)====< với f(x) và g(x) cùng dấu) sinh ra khi
quay quanh trục Ox được tính bởi:
b
22
a
Vf(x)g(x).dx=p-
ò
(3)
* f(x) và g(x) cùng dấu có nghóa là hai phần đồ thò cùng nằm một phía đối với trục Ox,
với mọi x Ỵ đoạn [a; b].
* Để bỏ dấu “| |” trong công thức (3) ta chú ý các trường hợp sau:

TH1:
12
(C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]:Ç=Ỉ>³"Ỵ

b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p-
ò




TH2:
12
(C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]:Ç=Ỉ<£"Ỵ

b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p-
ò




TH3:
12
(C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ
x = a, x = b và d(x) > g(x) ³ 0, x[a;b]:"Ỵ

b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p-
ò




TH4:
12
(C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ
x = a và f(x) < g(x) £ 0, x[a;b]:"Ỵ

b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p-
ò



y
x 0
(H)
a b
(C
2
)
(C
1
)
y
y
x
0
(H)
a b
(C
1
)
(C
2
)
y
y
x
(H)
A B
a b
0
(C
2
)
(C
1
)
y
x
(H)
A B
a b
0
(C
2
)
(C
1
)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 146
TH5:
12
(C)cắt(C) tại 3 điểm A, B, C, trong đó x
A
= a
x
B
= b, x
C
= c với a < c < b như hình bên:

12
(3)VVVÛ=+

cb
2222
ac
[f(x)g(x)]dx[g(x)f(x)]dx.=p-+p-
òò



Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
12
(C):xf(y),(C):xg(y),ya,yb(ab)====< với f(y) và g(y) cùng dấu) sinh ra khi
quay quanh trục Oy được tính bởi:
b
22
a
Vf(y)g(x).dy=p-
ò
(4)


TH1:
1212
(C)(C)vàxf(y)xg(y)0,Ç=Ỉ=>=³
với mọi y[a;b].Ỵ

b
22
a
(4)V[f(y)g(y)].d=p-
ò




TH3:
12
(C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có tung độ

AB
yayb=<= và
12
xf(y)xg(y)0,=>=³
với mọi y[a;b].Ỵ

b
22
a
(4)V[f(y)g(y)].d=p-
ò



* Các TH2, TH4 và TH5 thực hiện tương tự như vấn đề 3.

Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
= 8x và đường thẳng x = 2. Tính thể tích
khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên:
a/ quanh trục hoành
b/ quanh trục tung.
Giải:
a/
2
(P):y8x(P):y8x(x0)=Û=±³
Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh
trục Ox là:
y
x
C
(C
1
)
(C
2
)
V
2

V
1

A
a c b
B
y
x
2

(H)
C
2

C
1

b
a
A
B
x
1

x
(H) x
1

x
2

y
x 0
C
2
C
1

a
b
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 147

22
2
00
Vy.dx8x.dx16=p=p=p
òò
(đvtt).
b/
22
1
(P):y8xxy
8
=Û=
Thể tích V khối ... quanh trục tung là:

2
44
2224
14
11899
V2ydu2ydy...
86432
--
p
ỉưỉư
=p-=p-==
ç÷ç÷
èøèø
òò
(đvtt).
Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) :
2
y2xx=-. Tính
thể tích của khối tròn xoay khi cho (H)
a/ quay quanh trục hoành
b/ quay quanh trục tung.
Giải:
a/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là:

22
222
00
16
Vy.dx(2xx)dx...
15
p
=p=p-==
òò
(đvtt).
b/
22
(P):y2xxx2xy0(1)=-Û-+=

11
22
'1y00y1
x11y,(0x1)
(1)
x11y,(1x2)
D=-³Û££
é
=--££
Û
ê
ê
=+-££
ë

Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục tung là:

111
22
212121
000
8
V(xx)dy(xx)(xx)dy2(21y)dy....
3
p
=p-=p+-=p-==
òòò

Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip:
2
2
x
y1
4
+= quay quanh trục hoành. Tính thể tích của
khối tròn xoay được tạo nên.
Giải:
22
222
xx1
(E):y1y1y4x,(|x|2)
442
+=Û=-Û=±-£
Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là:

22
22
22
8
Vy.dx(4x).dx...
43
--
pp
=p=-==
òò
(đvtt).
Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: yx,y2x==- và y = 0.
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy.
Giải:
y
x
0
–1
2 –2
1
y
x 2 1 0
(H)
1
(P)
x
2

x
1

x
y
4
0

x = 2
2
(P)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 148
·
1
yxxx2=Û==
·
2
y2xxx2y.=-Û==-
· Thể tích vật thể tròn xoay
khi quay (D) quanh trục Oy là:

11
22222
21
00
V(xx)dy[(2y)(y)]=p-=p--
òò


32
15
p
= (đvtt).

BÀI TẬP
Bài 18. Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miền (D) giới hạn
bởi các đường:
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/
2
xy50;xy30.+-=+-=
c/
2
yx;yx.== d/
22
yx4x6;yx2x6.=-+=--+
e/
2
yx(x1).=- f/
x
yx.e;x1;y0(0x1)===££
g/
xx2
ye;y;x0;x2.
-+
==== h/
3
yxln(1x);x1.=+=
i/
2
(P):yx(x0),y3x10;y1=>=-+= (miền (D)) nằm ngoài (P)).
k/
44
ycosxsinx;y0;x;x.
2
p
=+===p
ĐS: a/
2
2(ln21);p- b/
153
;
5
p
c/
3
;
10
p

d/ 3p e/ .
105
p
f/
2
(e1)
;
4
p-

g/
22
(e1);p- h/ (2ln21).
3
p
- i/
56
.
5
p
k/
2
3
.
8
p

Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình
phẳng giới hạn bởi các đường:
a/
2
yx;y1;y2.===. b/
22
yx;xy.==
c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2.
ĐS: a/
3
;
2
p
b/
3
;
10
p
c/
2
24.p

Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong
1
y;
x
= trục Ox; x = 1 và x = t
a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox.
b/ Tính:
t
limS(t)
®+¥

t
limV(t).
®+¥

y
x
4 2 1 0
1
2
yx=
y2x=-
A

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Thể tích vật tròn xoay