Bài tập hay về nhị thức newton

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Bài tập hay về nhị thức newton

VẤN ĐỀ 2
NHỊ THỨC NEWTON
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
II)Tam giác Pascal: (Hệ số của đa thức trong công thức Newton)

B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
1) Dùng công thức nhò thức Newton để khai triển nhò thức.
2) Tìm số hạng không chứa biến, số hạng tổng quát thứ k+1, số hạng chính giữa,… trong khai
triển nhò thức.
46
I)Công thức nhò thức Newton:
1)Với mọi số tự nhiên
1n

và với mọi cặp số(a;b), ta có:
( )
nn
n
1n1n
n
1 kthứquát tổng hạngSố
kknk
n
22n2
n
1n1
n
n0
n
n
bCabC...baC...baCbaCaCba
+++++++=+
−−
+
−−−
  
2)Dùng dấu Σ, ta có thể viết công thức nhò thức Newton dưới dạng sau:
( )
∑∑
=

=

==+
n
0k
knkk
n
n
0k
kknk
n
n
baCbaCba
3)Vài khai triển nhò thức Newton thường gặp:
( )
n
n
1n
n
knk
n
2n2
n
1n1
n
n0
n
n
CxC......xC......xCxCxC1x
+++++++=+
−−−−
( ) ( ) ( )
n
n
n
knk
n
k
2n2
n
1n1
n
n0
n
n
C1......xC1......xCxCxC1x
−++−+−+−=−
−−−
( ) ( ) ( )
nn
n
n
kk
n
k
22
n
1
n
0
n
n
xC1......xC1......xCxCCx1 −++−+−+−=−
II)Tính chất:
1)Số các số hạng của công thức bằng n+1.
2)Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhò thức (n -k) + k = n.
3)Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng
kknk
n1k
baCT

+
=
(k = 0,1,….,n)
4) + n chẵn: Số hạng chính giữa là
1
2
n
T
+
+ n lẻ: Hai số hạng chính giữa là
2
1n
T
+
&
1
2
1n
T
+
+
5)Các hệ số nhò thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau.
6)
( )
n
n
k
n
1
n
0
n
n
n
C......C......CC112
+++++=+=
(Tổng các hệ số của các số hạng trong sự khai triển của nhò thức bằng 2
n
).
7)
( ) ( ) ( )
n
n
n
k
n
k
1
n
0
n
n
C1......C1......CC110
−++−++−=−=
.....CC......CC
3
n
1
n
2
n
0
n
++=++⇔
(Tổng tất cả các hệ số đứng ở các vò trí lẻ bằng tổng tất cả các hệ số đứng ở các vò trí chẵn).
1)Dạng 1:
........
1 6 15 20 15 6 1 :6n
1 5 10 10 5 1 :5n
1 4 6 4 1 :4n
1 3 3 1 :3n
1 2 1 :2n
1 1 :1n
1 :0n
=
=
=
=
=
=
=
2)Dạng 2:
........
1 6 15 20 15 6 1 :6n
1 5 10 10 5 1 :5n
1 4 6 4 1 :4n
1 3 3 1 :3n
1 2 1 :2n
1 1 :1n
1 :0n
=
=
=
=
=
=
=
3) Dùng công thức nhò thức Newton để tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức chứa các số
tổ hợp.
BÀI TẬP
Bài 1: Khai triển
( )
6
y2x
+
;
5
2
x
1
x







;
( ) ( ) ( )
654
1x1x22x3
−−++−
;
( )
6
1x
+
Bài 2: Tìm hệ số của x
3
trong khai triển biểu thức :
(x + 1)
2
+ (x + 1)
3
+ (x + 1)
4
+ (x + 1)
5
+ (x + 1)
6

Bài 3: Trong khai triển nhò thức
n
x
1
x






+
, hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng
thứ hai là 35. Tìm số hạng không chứa x của khai triển nói trên.
(Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997)
Bài 4 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, số hạng chính giữa trong khai triển nhò thức Niu-Tơn:
12
1






+
x
x
.(Đề thi TN THPT Kì I 2000-2001)
Bài 5: Tính tổng
5
5
54
5
43
5
32
5
21
5
0
5
C2C2C2C2C2C
+++++
Bài 6: Chứng minh rằng :
1)
n
5
n
4
1n
n
C
1n
4...
3
n
C
3
4
2
n
C
2
4
1
n
C41
=+
−−
+++++
2)
0
n
n
nC
1n
)1(...
4
n
C4
3
n
C3
2
n
C2
1
n
C
=

−++−+−
3)
n1
1
1n
2
n1
n
n
C
...
31
3
n
C
21
2
n
C
11
1
n
C
0
n
C
+

+
=
+
++
+
+
+
+
+
+
Bài 7: Tổng các hệ số trong khai triển nhò thức
n3
2
nx2
1
nx2






+
bằng 64. Hãy xác đònh số hạng
không chứa x.
Bài 8: Với giá trò nào của x, số hạng thứ ba trong khai triển
( )
5
xlg
xx
+
bằng 100?
Bài 9 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, trong khai triển của luỹ thừa:
10
x
6
x1






++
.
Bài 10 : Tìm số hạng thứ năm trong sự khai triển của
(
)
n
1
3
22


, nếu số hạng cuối cùng của
sự khai triển bằng
8log
3
3
93
1








.
Bài 11: Tìm số tự nhiên n, biết rằng trong dạng khai triển
n
2
1
x






+
thành đa thức đối với biến x,
hệ số của x
6
bằng bốn lần hệ số của x
4
.
Bài 12: 1) Tìm 3 hệ số đầu trong sự khai triển của nhò thức Newton của
n
4
1
2
1
x
2
1
x








+

( )
0x
>
2) Xác đònh số mũ n, biết rằng 3 hệ số nói trên lập thành một cấp số cộng theo thứ tự
đó.
Bài 13: Cho khai triển nhò thức:
+
















+








=








+


−−


3
x
1n
2
1x
1
n
n
2
1x
0
n
n
3
x
2
1x
22C2C22
2
3
x
n
n
1n
3
x
2
1x
1n
n
2C22C...








+
















++





(n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển
đó
1
n
3
n
C5C
=
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.(ĐH KHỐI A 2002)
Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho
243C2...C4C2C
n
n
n2
n
1
n
0
n
=++++
.(ĐH KHỐI D 2002)
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhò thức Niutơn của
n
5
3
1
x
x
 
+
 
 
, biết
rằng
n 1 n
n 4 n 3
C C 7(n 3)
+
+ +
− = +
. (n là số nguyên dương, x >0,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).(ĐH KHỐI A 2003)
Bài 16: Cho n là số nguyên dương. Tính tổng :
47
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
C C C ..... C
2 3 n 1
+
− − −
+ + + +
+
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử )(ĐH KHỐI B 2003)
Bài 17: Với n là số nguyên dương, gọi a
3n-n
là hệ số của x
3n – 3
trong khai triển thành đa thức của (
x
2
+ 1 )
n
( x + 2 )
n
. Tìm n để a
3n-n
= 26.(ĐH KHỐI D 2003)
Bài 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển thành đa thức của
( )
8
2
1 x 1 x
 
+ −
 
.
(ĐH KHỐI A 2004)
Bài 19: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niu-Tơn của:
7
3
4
1
x
x
 
+
 ÷
 
với x
> 0. (ĐH KHỐI D 2004)
48

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Bài tập hay về nhị thức newton