Phương pháp tìm thiết diện

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Phương pháp tìm thiết diện

K
Q
J
I
P
N
A
B
C
D
S
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng:
1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng
2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với
một đường thẳng cho trước
3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai
đường thẳng cho trước.
4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt
phẳng cho trước.
5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc một
đường thẳng cho trước.
6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một mặt
phẳng.
Dạng 1: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng
Phương pháp:
Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng
(P) với một mặt của hình chóp.
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ
được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được giao
tuyến với các mặt này.
Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác phẳng
khép kín ta được thiết diện.
Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm bất kì nằm trên cạnh SC (không trùng
với S, C), N và P lần luợt là trung điểm của AB, AD. Tìm thiết diện của hình chóp với
(MNP).
Giải:
Ta có:
( ) ( )
MNP ABCD NP∩ =
Kéo dài BC và NP cắt nhau tại I,
khi đó
( ) ( )
MNP SBC KM∩ =
Kéo dài DC cắt NP tại J,

( ) ( )
( ) ( )
MNP SCD MQ
MNP SAD PQ
∩ =
∩ =
Vậy thiết diện là ngũ giác KMQPN.
1
K
N
I
M
O
C
A
D
B
S
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Dạng 2:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa một đường thẳng
a

song song với một đường thẳng b cho trước (
a

b
chéo nhau)) .
@Phương pháp:
Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song
a

b
.
Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ).
Bước 3: Khi đó:
( ) ( )
P Q Mt a b∩ = P P

Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt còn lại của hình chóp.
Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, (P) là
mặt phẳng qua AM và song song BD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt (P).
Giải:
Ta có:
( ) ( )
,BD P BD SBD⊂P
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.
Gọi
I SO AM= ∩
Khi đó
( ) ( )
P SBD Ix BD∩ = P
Ix cắt SB tại K, cắt SD tại N.
Do đó:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P SBC MK
P SCD MN
P SAB AK
P SAD AN
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
Vậy thiết diện là tứ giác KMNA.
Dạng 3:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với
hai đường thẳng cho trước:
@Phương pháp:
Bước 1: Tìm điểm M

(P) ∩ (Q)
Bước 2: Chỉ ra mp (P)
P

a
( hoặc
b
)

(Q). Suy ra giao tuyến (P) và (Q) là đường thẳng
qua M và song song
a
( hoặc
b
).
Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với (P) bằng các cách đã
biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là điểm bất
kì thuộc AB và
( )
α
là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
( )
α
.
Giải:
2
P
K
N
A
D
B
S
C
M
K
P
N
S
B
D
A
C
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ta có:
( ) ( )
M ABCD
α
∈ ∩
( )
α
song song với AD nên:
( )
( ) ABCD Mx AD
α
∩ = P
Gọi
N Mx CD= ∩
( )
α
song song với SB nên:
( )
( ) SAB MP SB
α
∩ = P
Tương tự ta có:
( )
( ) SAD Px AD
α
∩ = P
Gọi
K Px SD
= ∩
( )
( ) SCD KN
α
∩ =
Vậy thiết diện là hình thang MNKP.
Dạng 4:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với
một mặt phẳng cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng nào đó của hình
chóp.
Bước 2: Chỉ ra
( ) ( )
P QP
.
Tìm
( ) ( ) ( ) ( )
( )a P R b Q R= ∩ = ∩
. Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua M song
song với
a
( hoặc
b
).
Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, cạnh đáy AB,
CD AB
<
.
( )
α
là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD).
Tìm thiết diện của hình chóp với
( )
α
.
Giải:
Ta có:
( ) ( )
M ABCD
α
∈ ∩
,
( ) ( )
M SAB
α
∈ ∩
Do
( )
α
song song với (SAD) nên:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ABCD MN AD
SAB MK SA
SCD NP SD
SBC KP
α
α
α
α
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
P
P
P
Vậy thiết diện là hình thang KMNP.
3
I
H
D
B
C
A
S
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Dạng 5:Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước
Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua một điểm M
và vuông góc với d cho trước.
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm hai đường thẳng
a

b
cắt nhau cùng vuông góc với d ( trong đó ít nhất một đường thẳng đi qua điểm M).
Bước 2: Khi đó (P)
P
(
a
,b).
Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng các cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông góc với d
thì ta chọn (P) song song với
a
(hay chứa
a
) và b song song với (P) (hay chứa b). Rồi
thực hiện các bước còn lại.
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).
Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Xác định thiết diện khi
( )
α
cắt hình
chóp (S.ABCD).
Giải:
Ta có:

( )
AD AB
AD SAB
AD SA
AD SB


⇒ ⊥



⇒ ⊥
Từ A kẽ đường thẳng vuông góc với SB tại H.
Do đó
( ) ( )
HAD
α

Khi đó:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
SAB AH
SAD AD
ABCD AD
α
α
α
∩ =
∩ =
∩ =
Do
( )
AD BC
α
⊃ P
Nên
( ) ( )
SBC Hx BC
α
∩ = P
Gọi
I Hx SC
= ∩
Khi đó
( ) ( )
SBC HI
α
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang AHID.
Dạng 6: Thết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với một mặt phẳng .
Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm trên đường thẳng
a
sao cho qua A có thể dựng được
đường thẳng b vuông góc với mp
( )
α
một cách dễ nhất.
Bước 2: Khi đó, mp (
a
,b) chính là mp
( )
α
cần dựng
Bước 3: Tìm giao tuyến của
( )
α
với hình chóp bằng các cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
4
N
J
I
C
A
D
B
S
K
P
I
N
M
B
C
A1
C1
B1
A
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua Ị và vuông
góc với mặt (SBC). Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
Giải:
Ta có
( )
IJ AB
IJ SAB IJ SB
IJ SA


⇒ ⊥ ⇒ ⊥



Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K.
Do đó
( ) ( )
P KIJ≡

Ta có

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P SAB KI
P ABCD IJ
P IJ BC P SBC KN BC
P SCD NI
∩ =
∩ =
⊃ ⇒ ∩ =
∩ =
P P
Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ.
Chú ý: Việc tìm thiết diên của mặt phẳng
( )
α
với hình lăng trụ được tiến hành tương tự
như đối với hình chóp. Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu
( )
α
cắt 1 mặt đáy nào thì cuãng cắt mặt đáy còn lại theo giao tuyến song song vơi giao
tuyến vừa tìm được.
Việc tìm thiết diện của hình lập phương được tiến hành giống như đói với hình lăng trụ.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
, các điểm M, N lần lượt là trung điểm của
BC và CC
1
.
Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (A
1
MN).
Giải:
( ) ( )
1 1 1
A MN BCB C MN∩ =
Kéo dài AC và A
1
N cắt nhau tại I.
Khi đó:

( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1 1
A MN ABC MP
A MN ABB A PA
∩ =
∩ =

Vậy thiết diện là tứ giác PMNA
1
.
5
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Những khó khăn cơ bản khi giải toán thiết diện và biện pháp khắc phục.
 Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng nào đó chẳng hạn tìm thiết diện
của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt
của hình chóp. Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp bởi
mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác đó là thiết diện tạo bởi
mặt phẳng (P) với hình chóp.
Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt
phẳng (P) với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt của hình chóp.
Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt
nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng và các cạnh của hình chóp
được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng và các
mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)
 Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thể bắt
gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì hình
học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn đề
tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy của
chúng ta.
1. Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào
trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quả dẫn lời giải sai:
Hình vẽ chưa thể hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc
tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai.
Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong
HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc…điều này sẽ làm cho các
em bị bế tắt khi giải toán HHKG.
Ví dụ 0: khi vẽ một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông thì các em mặc
nhiên vẽ hình chóp có đáy ABCD là hình vuông và có đỉnh là S.
Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ hình như
vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài toán.
- Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta có thể
hạn chế được. Điều này gây nhiều khó khăn khi giải
những bài toán phức tạp.
- Thứ hai: cạnh AD là nét khuất nhưng chưa được thể hiện
trên hình vẽ.
- Thứ ba: giao diện mặt bên
( )
SAD
quá nhỏ, điều này gây
nhiều khó khăn trong việc giải những bài toán mà ta cần
kẻ thêm những đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
- Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thể
hiện hoàn là một hình vuông như bên hình học phẳng.
Nếu đề bài yêu cầu thêm là mặt phẳng
( )
SAD
vuông góc
với mặt phẳng đáy thì học sinh khó mà vẽ được hình
đúng như ý mình.
Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học
sinh mất nhiều thời gian cho việc vẽ hình.
6
A
D C
B
S
N
M
A'
B'
C'
B
D
A
C
D'
P
N
M
B'
A'D'
A
C
B
D
C'
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ví dụ 1:
Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
. Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt
phẳng di qua trung điểm
M
của cạnh
'DD
, trung điểm
N
của cạnh
' 'D C
và đỉnh
A
.
Học sinh giải bài toán như sau:
Do hai mặt bên
( )
BB A A
′ ′

( )
CC D D
′ ′
song song với
nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng
( )
AMN
cũng phải song song với nhau. Do đó
( ) ( )
' ' ',AMN AA B B AB AB MN

∩ = P

( ) ( )
' 'AMN AA D D AM∩ =
( ) ( )
' ' ' ' 'AMN A B C D B N∩ =
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình
AMNB

Phân tích sai lầm:
Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng
( )
AMN
và mặt phẳng
( )
BB A A
′ ′
là đường thẳng đi
qua A và song song với MN. Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường thẳng
AB

. Điều
này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh
AB MN

P
.
Giải
Ta có:
( ) ( )
' 'AMN AA D D AM∩ =
Trong mặt phẳng
( )
' 'AA D D
dựng
AM
cắt
' 'A D
tại P.
( ) ( )
' ' ' 'AMN A B C D PN∩ =
Trong mặt phẳng
( )
' ' ' 'A B C D
ta nhận thấy
, , 'P M B
thẳng hàng.
thật vậy,
Ta có:
1 1
2 2
MD PD
AA PA
′ ′
= ⇒ =

Ta lại có
1
2
D N
A B

=
′ ′
từ đó suy ra
PN
đi qua
B


1
2
NB
PB

=

.
( ) ( )
AMN CC D D MN
′ ′
∩ =
( ) ( )
AMN AA B B AB
′ ′ ′
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình
AMNB

.
Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng.
@
Nguyên nhân:
Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai. Do bước đầu tiếp xúc với
hình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ
hình.
7
N
B
D
C
A
S
M
B
S
A
C
D
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫn đến
không đủ dữ kiện để giải quyết bài toán. Các khái niệm HS không nắm vững hoặc hiểu
nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy là tam giác đều”, “ hình chóp đều”, “hình
lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều, các mặt bên là hình chữ nhật…)
@
Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong không
gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hinh chóp
tứ giác đều, hình chóp có đáy là hình vuông,…), hình lăng trụ, hình hộp. Giúp học sinh
nắm vững khái niệm về các hình trong không gian để có cách vẽ hình chính xác….
Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian:
- Dùng nét ( ___ ) để biểu diễn cho những đường nhìn thấy.
- Dùng nét (---) để biểu diễn những đường khuất.
- Hai đường thẳng song song ( cắt nhau ) được biểu diễn thành hai đường thẳng song
song ( cắt nhau ).
- Hình biểu diễn của hình thang là hình thang.
- Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông là hình bình
hành.
- Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì….
Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có lợi cho
việc quan sát trực giác, điều này giúp ta dễ tìm ra lời giải cho bài toán.
Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác. Khi giải một số bài
tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra.
2. Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết.
Học sinh thường rơi vào bế tắc không biết bắt đầu từ đâu cho một bài toán tìm thiết diện.
Ví dụ 2: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
( )
SA ABCD⊥
. Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB.
Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
( )
α
.
Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc,
không biết bắt đầu lời giải từ đâu, do
không thấy được hình biểu diễn của mặt phẳng
( )
α

Nguyên nhân:
Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để
giải các dạng bài tập tìm thiết diện.
giải
Trong mặt phẳng
( )
SAB
dựng
AM SB⊥
Ta có:
AD SA
AD AB


do đó
( )
AD SAB⊥
suy ra
AD SB⊥
(1)
mặt khác
AM SB

(2)
8
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
từ (1) và (2) suy ra
( )
ADM SB⊥
vậy
( ) ( )
ADM
α

ta có:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
AD
BC SBC
Mt SBC
AD BC
M SBC
α
α
α
⊂



⇒ = ∩



∈ ∩

P
,Mt BC Mt ADP P
Mt cắt SC tại N.
( ) ( )
( ) ( )
SAB AM
SDC DN
α
α
∩ =
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác DAMN.
@
Biện pháp khắc phục:
- Hình thành cho học sinh phương pháp chung nhất để giải bài toán tìm thiết diện:
Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng với các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ…Từ đó suy ra
các đoạn giao tuyến. Nối các đoạn giao tuyến ta được đa giác phẳng, đó chính là thiết diện
cần tìm.
Phân loại các dạng bài tập tìm thiết diện, giúp học sinh biết được cách giải với từng dạng
bài toán đề cho (phần này được trình bài ở mục 1).
- Như đã nói ở trên nguồn gốc của những khó khăn trong giải toán thiết diện được xuất
phát phần lớn ở những khó khăn về tìm “giao điểm” cũng như xác định “đoạn giao tuyến”.
Mà việc xác định “đoạn giao tuyến” hoặc là ta đã có hoặc nếu không có sẳn thì xác định
đoạn giao tuyến bằng cách tìm các giao điểm là phổ biến (tuy nhiên còn có phương pháp
khác sẽ nêu ra sau)
- Như vậy quy cho cùng vấn đề tìm “giao điểm” là cốt lõi trong bài toán thiết diện.
Vậy làm sao để tìm được “giao điểm” chẳng hạn là giao điểm của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng nào đó.
Khó khăn bắt đầu từ đây mà nguyên nhân chủ yếu là các em học sinh không nắm vững
phương pháp dẫn đến sai lầm.
Có thể nêu ra hai phương pháp tìm giao điểm của một đường thẳng và một đường thẳng:
Cách 1:
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta đi tìm giao điểm của đường
thẳng a và một đường thẳng b nằm trong mặt phăng (P).
( )
( )
b P
a P I
a b I
⊂

⇒ ∩ =

∩ =


Cách 2:
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a,
sau đó xác định giao tuyến b của hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó giao điểm cần tìm là
giao điềm của hai đường thẳng a và b.
9

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Phương pháp tìm thiết diện