Day so viet theo quy luat

Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS
(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
na
1
a
1
n)a.(a
n
+
=
+
- - - Chứng minh - - -
naanaa
a
naa
na
naa
ana
naa
n
+
=
+

+
+
=
+
+
=
+
11
).().().(
)(
).(
Bài 1.1 : Tính
a)
2009.2006
3
...
14.11
3
11.8
3
8.5
3
++++=
A
b)
406.402
1
...
18.14
1
14.10
1
10.6
1
++++=
B
c)
507.502
10
...
22.17
10
17.12
10
12.7
10
++++=
C
d)
258.253
4
...
23.18
4
18.13
4
13.8
4
++++=
D
Bài 1.2 : Tính:
a)
509.252
1
...
19.7
1
7.9
1
9.2
1
++++=
A
b)
405.802
1
...
17.26
1
13.18
1
9.10
1
++++=
B
c)
405.401
3
304.301
2
...
13.9
3
10.7
2
9.5
3
7.4
2
+++=
C
Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5
120
1
...
21
1
15
1
10
1
2008
=
x
b)
45
29
45.41
4
...
17.13
4
13.9
4
9.5
47
=+++++
x
c)
93
15
)32)(12(
1
...
9.7
1
7.5
1
5.3
1
=
++
++++
xx
Bài 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
46)23)(13(
1
...
11.8
1
8.5
1
5.2
1
+
=
+
++++
n
n
nn
b)
34
5
)34)(14(
5
...
15.11
5
11.7
5
7.3
5
+
=
+
++++
n
n
nn
Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi
2;

nNn
ta có:
15
1
)45)(15(
3
...
24.19
3
19.14
3
14.9
3
<
+
++++
nn
Bài 1.6 : Cho
403.399
4
...
23.19
4
19.15
4
+++=
A
chứng minh:
80
16
81
16
<<
A
Bài 1.7 : Cho dãy số :
;...
25.18
2
;
18.11
2
;
11.4
2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
Bài 1.8 : Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 4 100
A = + + + +
. Chứng minh
3
4
A <
HD: Ta có :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
; ;...;
3 2.3 4 3.4 100 99.100
< < <

2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 4 100
A = + + + +
<
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ( ... )
2 2.3 3.4 99.100 4 2 3 3 4 99 100
+ + + + = + + + +
1 1 1 74 75 3
4 2 100 100 100 4
= + = < =
Bài 1.9 : Cho
2222
9
1
...
4
1
3
1
2
1
++++=
A
. Chứng minh
9
8
5
2
<<
A
GV: Lê Văn Hoà - Trờng THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá
1
Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS
Bài 1.10 : Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
... ( , 2)
2 3 4
A n N n
n
= + + + +
. Chứng minh 1A <
Bài 1.11 : Cho
2222
2007
2
...
7
2
5
2
3
2
++++=
A
. Chứng minh:
2008
1003
<
A
Bài 1.12 : Cho
2222
2006
1
...
8
1
6
1
4
1
++++=
B
. Chứng minh:
2007
334
<
B
Bài 1.13 : Cho
222
409
1
...
9
1
5
1
+++=
S
. Chứng minh:
12
1
<
S
Bài 1.14 : Cho
2222
305
9
...
17
9
11
9
5
9
++++=
A
. Chứng minh:
4
3
<
A
Bài 1.15 : Cho
2
201
202.200
...
49
48
25
24
9
8
++++=
B
. Chứng minh:
75,99
>
B
Bài 1.16 : Cho
1764
1766
...
25
27
16
18
9
11
++++=
A
. Chứng minh:
21
20
40
43
20
40
<<
A
Bài 1.17 : Cho
100.98
99
...
6.4
5
5.3
4
4.2
3
3.1
2
22222
+++++=
B
. Tìm phần nguyên của B.
Bài 1.18 : Cho
2500
2499
...
16
15
9
8
4
3
++++=
C
. Chứng minh C > 48
HD: C = (1 -
1
4
) + (1 -
1
9
) + (1 -
1
16
) + + (1 -
1
2500
) = 49 (
2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 4 50
+ + + +
) > 48
Bài 1.19 : Cho
59..321
1
...
4321
1
321
1
++++
++
+++
+
++
=
M
. Chứng minh
3
2
<M
Bài1.20 : Cho
100.99
101.98
...
5.4
6.3
4.3
5.2
3.2
4.1
++++=
N
. Chứng minh 97 < N < 98.
Bài1.21 : Chứng minh
2 2 2 2
1 1 1 1 1
... ( , 3)
4 6 8 (2 ) 4
P n N n
n
= + + + + <
HD:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ( ... ) .1
4 6 8 (2 ) 2 2 3 4 4 4
P
n n
= + + + + = + + + + < =
Bài1.22: Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
...
5 6 7 100
Q = + + + +
. Chứng minh rằng:
1 1
6 4
Q< <
HD: áp dụng phơng pháp làm trội.
Ta có :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24 25 1
... ...
5 6 7 100 4.5 5.6 6.7 99.100 4 100 100 100 4
Q = + + + + < + + + + = = < =
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
5 6 7 100 5.6 6.7 7.8 100.101 5 101 6
Q = + + + + > + + + + = >
Mở rộng với tích nhiều thừa số:
)2)((
1
)(
1
)2)((
2
nananaananaa
n
++

+
=
++
Chứng minh:
)2)((
1
)(
1
)2)(()2)((
2
)2)((
)2(
)2)((
2
nananaananaa
a
nanaa
na
nanaa
ana
nanaa
n
++

+
=
++

++
+
=
++
+
=
++
)3)(2)((
1
)2)((
1
)3)(2)((
3
nananananaanananaa
n
+++

++
=
+++
Bài 1.23 : Tính
39.38.37
2
...
4.3.2
2
3.2.1
2
+++=
S
Bài 1.24 : Cho
20.19.18
1
...
4.3.2
1
3.2.1
1
+++=
A
. Chứng minh
4
1
<
A
GV: Lê Văn Hoà - Trờng THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá
2
Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS
HD:
1 1 1 1 2 2 2
... ( ... )
1.2.3 2.3.4 18.19.20 2 1.2.3 2.3.4 18.19.20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 189 189 189 1
( ... ) ( ) .
2 1.2 2.3 2.3 3.4 18.19 19.20 2 2 19.20 2 380 760 756 4
A = + + + = + + +
= + + + = = = < =
Bài 1.25 : Cho
29.27.25
36
...
7.5.3
36
5.3.1
36
+++=
B
. Chứng minh B < 3
Bài 1.26 : Cho
308.305.302
5
...
14.11.8
5
11.8.5
5
+++=
C
. Chứng minh
48
1
<
C
Bài 1.27 : Chứng minh với mọi n

N; n > 1 ta có:
4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333
<++++=
n
A
Bài 1.28 : Tính
30.29.28.27
1
...
5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+++=
M
Bài 1.29 : Tính
100.99
1
...
6.5
1
4.3
1
2.1
1
100
1
...
52
1
51
1
++++
+++
=
P
Bài 1.30: Tính:
2007.2005
1004.1002
...
)12)(12(
)1)(1(
...
9.7
5.3
7.5
4.2
5.3
3.1
++
+
+
++++=
nn
nn
Q
Bài 1. 31: Tính:
2007.2005
2006
...
5.3
4
4.2
3
3.1
2
2222
++++=
R
Bài 1.32: Cho
12005
2
...
12005
2
...
12005
2
12005
2
12005
2
20052
2
2006
2
1
2
3
2
2
+
++
+
++
+
+
+
+
+
=
+
n
n
S
So sánh S với
1002
1
Hng dn:
1k
m2
1k
m
1k
m
1k
m2
)1k)(1k(
mmkmmk
1k
m
1k
m
22



=
+


=
+
++
=
+


p dng vo bi toỏn vi m {2; 2 , ., 2 } v k { 2005, 2005 ,
2006
2
2005
} ta cú:
12005
2
12005
2
12005
2
2
2



=
+
12005
2
12005
2
12005
2
2
2
3
2
2
2
2



=
+
..
(2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa






n
a
1
với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính :
10032
2
1
...
2
1
2
1
2
1
++++=
A
Bài 2.2: Tính:
10099432
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
1
+++=
B
Bài 2.3: Tính:
9953
2
1
...
2
1
2
1
2
1
++++=
C
Bài 2.4: Tính:
581074
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
1
++=
D
Bài 2.5: Cho
n
n
A
3
13
...
27
26
9
8
3
2

++++=
. Chứng minh
2
1
>
nA
GV: Lê Văn Hoà - Trờng THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá
3
Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS
Bài 2.6: Cho
98
98
3
13
...
27
28
9
10
3
4
+
++++=
B
. Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho
9932
4
5
...
4
5
4
5
4
5
++++=
C
. Chứng minh:
3
5
<
C
Bài 2.8: Cho
22222222
10.9
19
...
4.3
7
3.2
5
2.1
3
++++=
D
. Chứng minh: D < 1.
Bài 2.9: Cho
10032
3
100
...
3
3
3
2
3
1
++++=
E
. Chứng minh:
4
3
<
E
Bài 2.10: Cho
n
n
F
3
13
...
3
10
3
7
3
4
32
+
++++=
với n

N
*
. Chứng minh:
4
11
<
F
Bài 2.11: Cho
10032
3
302
...
3
11
3
8
3
5
++++=
G
. Chứng minh:
2
1
3
9
5
2
<<
G
Bài 2.12: Cho
10032
3
601
...
3
19
3
13
3
7
++++=H
. Chứng minh:
5
9
7
3
<<
H
Bài 2.13: Cho
10032
3
605
...
3
23
3
17
3
11
++++=
I
. Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho
10132
3
904
...
3
22
3
13
3
4
++++=
K
. Chứng minh:
4
17
<
K
Bài 2.15: Cho
10032
3
403
...
3
15
3
11
3
7
++++=L
. Chứng minh: L < 4,5.
(3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: Tính:
2500
2499
.....
25
24
.
16
15
.
9
8
=
A
.
Bài 3.2: Cho dãy số:
,...
35
1
1,
24
1
1,
15
1
1,
8
1
1,
3
1
1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính:


































=
780
1
1.....
15
1
1
10
1
1
6
1
1
3
1
1B
.
Bài 3.4: Cho
200
199
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
=
C
. Chứng minh:
201
1
2
<
C
HD: Ta có
200
199
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
=
C
(1)

2 4 6 200
. . .....
3 5 7 201
C <
(2)
Nhân (1) và (2) theo từng vế ta đợc:
2
1 3 5 199 2 4 6 200 1.(3.5.7...199).(2.4.6...200) 1
( . . ..... ).( . . ..... )
2 4 6 200 3 5 7 201 (2.4.6...200).(3.5.7...199).201 201
C < = =
Bài 3.5: Cho
100
99
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
=
D
. Chứng minh:
10
1
15
1
<<
D
Bài 3.6: Tính:






+






+






+






+=
1
99
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
E
Bài 3.7: Tính:



























=
1
100
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
F
.
Bài 3.8: Tính:
2222
30
899
.....
4
15
.
3
8
.
2
3
=
G
.
GV: Lê Văn Hoà - Trờng THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá
4
Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS
Bài 3.9: Tính:
64
31
.
62
30
....
10
4
.
8
3
.
6
2
.
4
1
=
H
.
Bài 3.10: Tính:
1000...001.....100000001.10001.101
/12

sc
n
I

=
Bài 3.11: Cho



























=
1
100
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
2222
K
. So sánh K với
2
1

Bài 3.12: So sánh



























=
20
1
1....
4
1
1
3
1
1
2
1
1L
với
21
1
Bài 3.13: So sánh



























=
100
1
1.....
16
1
1
9
1
1
4
1
1M
với
19
11
Bài 3.14: Tính:
51.49
50
.....
5.3
4
.
4.2
3
.
3.1
2
2222
=
N
Bài 3.15: Tính



























=
7
10
1.....
7
3
1
7
2
1
7
1
1P
.
Bài 3.16: Tính:



























=
2007
2
1.....
7
2
1
5
2
1
3
2
1Q
Bài 3.17: Tính:



























=
99
1
2
1
.....
7
1
2
1
5
1
2
1
3
1
2
1
T
Bài 3.18: So sánh:
40.....23.22.21
39.....7.5.3.1
=
U

12
1
20

=
V
Bài 3.19: Cho






+






+






+






+=
101.99
1
1.....
5.3
1
1
4.2
1
1
3.1
1
1V
. Chứng minh V < 2.
Bài 3.20: Cho
199
200
.....
5
6
.
3
4
.
1
2
=
S
. Chứng minh:
400201
2
<<
S
Bài 3.21: Cho
210
208
....
12
10
.
9
7
.
6
4
.
3
1
=
A
. Chứng minh:
25
1
<
A
Bài 3.22: Tính:
101.100
100
.....
4.3
3
.
3.2
2
.
2.1
1
2222
=
B
Bài 3.23: Tính:






+






+






+






+






+






+






+






+
=
1999
1000
1.....
3
1000
1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1.....
3
1999
1
2
1999
1
1
1999
1
C
Bài 3.24: Tính:






























=
2
)12(
1
1.....
25
4
1
9
4
1
1
4
1
n
D
, với n

N,
1

n
Bài 3.25: Cho






++++







++







+
=
n
E
...321
1
1.....
321
1
1
21
1
1


n
n
F
2
+
=
với n

N
*
. Tính
F
E
Bài 3.26: Cho






+






+






+






+






+=
1024
2
1
1....
256
1
1
16
1
1
4
1
1
2
1
1G

2047
2
1
=
H
Tính: G + H.
Bài 3.27: Cho
n
nn
I
2
22
2
2)12)(12(
.....
65536
2257.255
.
256
217.15
.
16
25.3
.
4
23.1 ++++++
=
với n

N.
Chứng minh:
3
4
<
I
Bài 3.28: Cho dãy số:
;....
3
1
1;
3
1
1;
3
1
1;
3
1
1;
3
1
1
16842
GV: Lê Văn Hoà - Trờng THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá
5