Bài tập về đường tròn

Trờng THCS An Đà
Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
Kiến thức cơ bản
1. Tính chất đờng nối tâm
Đờng nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đờng tròn . Từ đó suy ra :
- Nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đờng nối tâm .
- Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là đờng trung trực cua dây chung .
2. Sự liên hệ giữa vị trí của hai đờng tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
Vị trí tơng đối của hai đờng tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R , r
* Hai đờng tròn cắt nhau 2 R r < d < R + r
* Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
- Tiếp xúc ngoài
- Tiếp xúc trong
1
d = R + r
d = R - r
* Hai đờng tròn không giao nhau
- ở ngoài nhau
- (O) đựng (O
/
)
Đặc biệt (O) và (O
/
) đồng tâm
0
d > R + r
d < R r
OO
/
= 0
3. Giao điểm của hai tiếp tuyến chung ngoài , giao điểm của hai tiếp tuyến chung trong
(nếu có) đều nằm trên đờng nối tâm .
Các dạng bài tập
Dạng 1: Các bài toán cho hai đờng tròn tiếp xúc nhau
Dạng 2 :Các bài toán cho hai đờng tròn cắt nhau
Dạng 3 : Xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn khi biết hệ thức giữa d với R , r và ngợc lại
Dạng 4: Chứng minh hai đoạn thẳng trên cùng một day cung bằng nhau .
Luyện tập:
Bài tập 1:
Cho hai đờng tròn (O) và (O
/
) tiếp xúc nhau tại A . Qua Avẽ cát tuyến cắt đờng tròn (O) tại B và
đờng tròn (O
/
) tại C. Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn (O) . Từ C vẽ đgt uv //xy . Chứng minh
rằng uv là tiếp tuyến của (O
/
).
Chng minh
Ni OO
/
theo tính chất đờng nối tâm OO
/
đi qua
A
Xét tam giác AOB và AO
/
C có
OB = OA ( cùng bằng bán kính tâm O)
O
/
A = O
/
C ( cùng bằng bán kính (O
/
)
Suy ra tam giác AOB và AO
/
C cân
A
1
= B
1

A
1
= C
1
Suy ra B
1
= C
1
Do đó OB // O
/
C
Mà xy

OB ( t/c của tiếp tuyến )
Và xy // uv nên suy ra uv

O
/
C . Vậy uv là tiếp tuyến của (O
/
).
Bài tập 2:
1
c
1
j
2
2
1
2
1
O
/
O
A
C
B
y
x
B
Trờng THCS An Đà
Cho hình vuông ABCD . Vẽ đờng tròn (D;DC ) và đờng tròn (O) đờng kính BC , chúng cắt nhau
tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M , tia BE cắt AD tại N . Chứng minh rằng
a) N là trung điểm của AD
b) M là trung điểm của AB
Chứng minh :
a)Gọi I là giao điểm của OD với CE , theo tính chất đờng nối tâm OD ta có
OD

CE và IE = IC
Ta có OI là đờng trung bình của tam giác CEB
Suy ra OI // BE
Do đó B
1
= D
1
( góc có cạnh tơng ứng song song)

ABN =

CDO ( cgv gn)
=> AN = CO =
2
1
BC =
2
1
AD
Vậy N là trung điểm của AD.
b) Chứng minh M là trung điểm của AB
Ta có D
1
= C
1
( cùng phụ với góc IOC)
nên

DOC =

CMB (cgv gn)
=> BM = OC =
2
1
BC =
2
1
AB
Vây M là trung điểm của AB.
Bài tập 3:
Cho hai đờng tròn (O) và (O
/
) tiếp xúc ngoài tại A và một đờng thẳng d tiếp xúc với (O) và (O
/
)
lần lợt tại B và C
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O
/
)
c) Chứng minh OM

O
/
M
Chứng minh
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
Giả sử tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại N
Khi đó theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Ta có :
NA = NB = NC
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
(tính chất đờng trung tuyến
trong tam giác vuông )
b)Chứng minh AM là tiếp tuyến chung
của (O) và (O
/
)
Theo kết quả của câu a) ta có M trùng N
Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn
c) Chứng minh OM

O
/
M
Theo tính chất của hai tiép tuyến cắt nhau ta có OM

AM và O
/
M

AC
Mà AB

AC ( theo kq câu a tam giác ABC vuông )
Vậy OM

O
/
M ( vì cùng vuông góc với hai đờng thẳng // ).
Cách 2: Sử dụng tính chất đờng phân giác của hai góc kề bù
2
=
A
B
CD
E
M
N
I
O
1
1
1
=
=
d
A
B
C
MN
(1
2))
O
O
/
I
Trờng THCS An Đà
d) Hỏi thêm : Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO
/
.
Gọi I là trung điểm của OO
/
Ta có IM là đờng trung bình của hình thang BOO
/
C nên IM // OB
=> OM

d và IM =
2
1
(OB + O
/
C) =
2
1
OO
/
( OO
/
= tổng hai bk )
Do đó M thuộc đờng tròn đờng kính OO
/

Lại có OM

d
Vậy d là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO
/
.
Bài tập 4:
Dựng đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn cho trớc tại một điểm cho trớc và tiếp xúc với một
đgt cho truớc không cắt đờng tròn đã cho .
Phân tích :
Giả sử đờng tròn cho trớc là (O;R) có điểm A trên nó và đờng thẳng d không cắt (O).
Giả sử đã dựng đợc đờng tròn (I) thoả mãn các đk
Của đề bài
Ta thấy có hai trờng hợp xảy ra
TH1 : t // d
TH2 : t cắt d
Xét TH 1:
Vì (I) tiếp xúc với (O) tại A thuộc (O)
Nên OI

t ( t/c đờng nối tâm )
Mà t // d
Do đó OI

d tại B
Vậy I là trung điểm của AB
* TH 2 t cắt d ở E
Ta thấy OI

t tại A ( t/c đờng nối tâm )
Lại có IB

d (vì d tiếp xúc (I) )
Và IA = IB ( cùng bằng bán kính của (I))
Do đó I nằm trên tia phân giác của góc E
Vậy I là giao của tia phân giác góc E với
đờng OA vuông góc với đgt t tại A.
Cách dựng
- Dựng tiếp tuyến At với đờng trìn (O)
- Nếu At // d thì lấy giao B của OA với
đgt d rồi lấy trung điểm I của AB và vẽ đờng tròn tâm I bk AI
- Nếu At cắt đgt d tại E ta kẻ phân giác của góc tEd cắt OA tại I . Vẽ đờng tròn tâm I bk
AI
Bài tập 5:
Cho hai đờng tròn (O) và (O
/
) cắt nhau tại hai điểm A và B . Gọi I là trung điểm của OO
/
. Đờng
thẳng vuông góc với AI tại A cắt (O) tại C và cắt (O
/
) tại D Gọi H , K là các hình chiếu vuông
góc của O và O
/
xuống CD . Chứng minh AC = AD = HK
Giải
Tứ giác HKO
/
O là hình thang vuông . có AI là đờng trung bình nên AH = AK
Mặt khác AH = HC và AK = KD ( theo t/c đgk và dây cung )
3
O
I
A
d
E
t
O
A
I
d
t
Trờng THCS An Đà
Từ đó suy ra :
CH = HA = AK = KD
=> AC = AD = KD .
Cho hai đờng tròn đồng tâm (O;R) và (O;R
/
) . Đờng tròn tâm I cắt (O;R) tại A , B . Chứng minh
rằng
a) Nếu (I) cắt (O; R
/
) tại C , D thì CD // AB
b) Nếu (I) tiếp xúc với (O;R
/
) tại E thì tam giác EAB cân .
Giải
a)Vì (I) cắt (O;R) tại A , B => OI

AB ( t/c đờng nối
tâm )
Vì (I) cắt (O; R
/
) tại C, D => OI

CD ( t/c đờng nối
tâm )
Suy ra AB // CD ( cùng vuông góc với OI )
b) Vì (I) tiếp xúc (O;R
/
) tại E nên ba điểm O , E , I
thẳng hàng

I
E
O
B
A
Mặt khác do (I)cắt (O;R) tại A , B nên IO trung trực
của đoạn thẳng AB ; E thuộc IO suy ra EA = EB dẫn đến tam giác EAB cân tại E.
Bài tập 6:
Xét ram giác ABC có các góc B,C nhọn . Các đờng tròn đgk AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai
H . Một đgt d bất kì qua A và cắt hai đờng tròn nói trên lần lợt tại M và N .
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC
b) Tứ giác BCNM là hình gì
c) Gọi P , Q lần lợt trung điểm BC , MN. Chứng minh bốn điểm A , H , P , Q thuộc một d-
ờng tròn
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất .
Giải
4
c
1
I
B
A
D
C
O
Trờng THCS An Đà
A
O
/
O
H
B
N
M
Q
P
a)Chứng minh H , B , C thẳng hàng
H thuộc đờng tròn đờng kính AB =>

AHB = 90
0
H thuộc đờng tròn đờng kính AC =>

AHC = 90
0
Suy ra H , B , C thẳng hàng
b) Tứ giác BCNM là hình gì ?
BCNM là hình thang vuông
c)Chứng minh A , H , P , Q cùng nằm trên một đờng tròn

AHP = 90
0
=> A , H , P nằm trên đờng tròn đgk AP

AQP = 90
0
=> A , Q , P nằm trên đờng tròn đgk AP
Vậy A , H , P , Q cùng nằm trên đờng tròn đgk AP
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất
Xét tam giác ABC có OO
/
là đờng trung bình nên OO
/
=
2
1
BC hay BC = 2 OO
/
= không đổi
Trong hình thang vuông BCNM có MN BC . do đó MN lớn nhất bằng BC lúc này BC // NM
Vậy khi d // OO
/
thì dộ dài NM lớn nhất
Bài tập 6:
Cho đờng tròn tâm O dây cung AB . Trên đoạn AB lấy điểm P tuỳ ý vẽ các đờng tròn (C) và
(D) đi qua P tiếp xúc với đơng tròn (O) theo thứ tự là A , B . Hai dờng tròn â và (D) cắt nhau tại
điểm thứ hai N. Chứng minh
a) tứ giác OCPD là hình bình hành
b)

PNO = 90
0
c) Khi P di động trên AB thì N chạy trên đờng nào ?
Giải
a)Theo t/c đờng nối tâm
Vì (C) tiếp xúc (O) nên A, C , O thẳng hàng
Vì (D) tiễp xúc (O) nên B , D , O thẳng hàng
Tam giác ACP và AOB cân =>

CAP =

CPA

CAP =

OBA
Suy ra

CPA =

OBA => CP // OB
C/m tơng tự PD // OA
Vậy tứ giác CODP là hình bình hành .
b)C/m

PNO = 90
0
5
C
/
/
////