Phan loai cac bai tap vecto

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Phan loai cac bai tap vecto

Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng
GV : Chu Quèc Hïng
Chủ để 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ
VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a)
AB CD AD CB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
AB CD AC DB− = +
uuur uuur uuur uuur
c)
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
a)
AN BP CM O+ + =
uuur uuur uuur ur
b)
AN AM AP= +
uuur uuur uuur
c)
AM BN CP O+ + =
uuur uuur uuur ur
VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B.
a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có :
2IA IB IM+ =
uur uur uuur
.
b) Với điểm N sao cho
2NA NB= −
uuur uuur
. CMR với I bất kì :
2 3IA IB IN+ =
uur uur uur
c) Vơi điểm P sao cho
3PA PB=
uuur uuur
. CMR với I bất ki :
3 2IA IB IP− = −
uur uur uur
.
d) Tổng quát tính chất trên.
VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng
AG BG CG O+ + =
uuur uuur uuur ur
. Với I bất kì ta có :
3IA IB IC IG+ + =
uur uur uur uur
.
b) M thuộc đoạn AG và
1
4
MG GA=
. CMR :
2MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
. Với I bki
2 4IA IB IC IM+ + =
uur uur uur uuur
.
c) Tổng quát tính chất trên.
d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G
1
. Chứng minh rằng :
+
1
3AD BE CE GG+ + =
uuur uuur uuur uuuur
+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.
VD4. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.
a) CMR :
AO BO CO DO O+ + + =
uuur uuur uuur uuur ur
, Với I bất kì
4IA IB IC ID IO+ + + =
uur uur uur uur uur
b) M là điểm thoả mãn:
VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR :
a)
2AD BC MN+ =
uuur uuur uuuur
b)
2AC BD MN+ =
uuur uuur uuuur
c) Tìm vị trí điểm I sao cho
IA IB IC ID O+ + + =
uur uur uur uur ur
d) Với M bất kì, CMR :
4MA MB MC MD MI+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur
VD6. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm
1 2
, ,...,
n
A A A
.
a) Gọi G là điểm thoả mãn
1 2
...
n
GA GA GA O+ + + =
uuuur uuuur uuuur ur
. CMR vơi bki M :
1 2
...
n
MA MA MA nMG+ + + =
uuuur uuuur uuuur uuuur
.
b) Gọi I là điểm thoả mãn
1 1 2 2
...
n n
n IA n GA n GA O+ + + =
uuur uuuur uuuur ur
. CMR với M bất kì :

1 1 2 2 1
... ( .. )
n n n
n MA n MA n MA n n MG+ + + = + +
uuuur uuuur uuuur uuuur
VD7.
a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.
b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA.
CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.
c) Cho hai tam giác ABC và A

B

C

là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho :

' ' ' ' ' '
, ,A B k A C B C k B A C A kC B= = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

1k

. CMR hai tam giác ABC và A

B

C

cùng trọng tâm.
d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và
CMQ cùng trọng tâm.
VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)
Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.
a)
3OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
b)
OH OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
c)
2HO HA HB HC= + +
uuur uuur uuur uuur
d)
aIA bIB cIC O+ + =
uur uur uur ur
e)
A tanTan HA TanB HB CHC O+ + =
uuur uuur uuur ur
f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR :
BCM ACM ABM
S IA S IB S IC O+ + =
uur uur uur ur
(M nằm ngoài
thì không còn đúng).
VD9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và
N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.
Page 1 9/1/2013
Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng
GV : Chu Quèc Hïng
a) CMR :
1 1
4 6
AK AB AC= +
uuur uuur uuur
. b) D là trung điểm BC. CMR :
1 1
4 3
KD AB AC= +
uuur uuur uuur
Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ
ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm
VD1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B
1
đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn các
véc tơ
AM
uuur
,
1 1 1
, , , ,AG BC CB AB MB
uuur uuur uuur uuur uuuur
qua hai véc tơ
,AB AC
uuur uuur
.
VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB =
2JC.
a) Tính
,AI AJ
uur uur
theo hai véc tơ
,AB AC
uuur uuur
. Từ đó biểu diễn
,AB AC
uuur uuur
theo
,AI AJ
uur uur
. (Nhấn mạnh cách tìm
biểu diễn)
b) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính
AG
uuur
theo
,AI AJ
uur uur
.
Chủ đề 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB k AC=
uuur uuur
.
Lưu ý :
, AB mx ny AC kmx kny= + = +
uuur r r uuur r r
thì
AB k AC=
uuur uuur
VD1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung
điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
b) Gọi E, F thoả mãn :
1
3
ME MN=
uuur uuuur
,
1
3
BF BC=
uuur uuur
. CMR : A, E, F thẳng hàng.
VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.
VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn :
3MB MC O− =
uuur uuuur ur
,
3AN NC=
uuur uuur
,
PB PA O+ =
uuur uuur ur
.
CMR : M, N, P thẳng hàng. (
1 1 1
,
2 2 4
MP CB CA MN CB CA= + = +
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
).
VD4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn
2 ,LB LC=
uuur uuur
1
2
MC MA

=
uuuur uuur
,
NB NA O+ =
uuur uuur ur
. CM : L, M, N thẳng
hàng.
VD5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn :
2 3IA IC O+ =
uur uur ur
,
2 5 3JA JB JC O+ + =
uur uur uur ur
.
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.
b) CMR J là trung điểm BI.
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn
AE k AB=
uuur uuur
. Xác định k để C, E, J thẳng hàng.
VD6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn :
2 , 3 2 = IA IB JA JC O= +
uur uur uur uur ur
. CMR : Đường thẳng IJ đi qua G.
Chủ đề 4. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ
Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định.
a) Nếu
PB PA O+ =
uuur uuur ur
thì P là trung điểm của AB.
b) Nếu
PB PA PC O+ + =
uuur uuur uuur ur
thị P là trọng tâm tam giác ABC.
c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay
không ?
VD1(Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn :
2IA IB O+ =
uur uur ur
.
NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn :
mIA nIB O+ =
uur uur ur
. Với điểm O bất kì ta
có :
m n
OI OA OB
m n m n
= +
+ +
uur uuur uuur
.
VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :
a)
MB MC AB+ =
uuur uuuur uuur
(Trung điểm AC) b)
2MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
c)
2MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
d)
2MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
e)
MA MB MC O+ − =
uuur uuur uuuur ur
f)
2MA MB MC O+ − =
uuur uuur uuuur ur
Page 2 9/1/2013
Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng
GV : Chu Quèc Hïng
NX : Mở rộng với n điểm bất kì
Chủ đề 5. Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ
Một số quĩ tích cơ bản :
a)
MA MB=
uuur uuur
thì M nẵm trên đường trung trực của AB.
b)
MC k AB=
uuuur uuur
, với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB.
c)
AM k BC=
uuur uuur
với A, B, C cho trước.
+ k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng
BC
uuur
.
+ k< 0
+ k bất kì
Dạng 1. (Bài toán hai điểm)
VD1. Cho hai điểm A,B cố định. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a)
2MA MB AB+ =
uuur uuur uuur
b)
MA MB AB+ =
uuur uuur uuur
c)
2MA MB MA+ =
uuur uuur uuur
d)
MA MB MA+ =
uuur uuur uuur
e)
2MA MB MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
Dạng 2. (Bài toán 3 điểm)
VD2. Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a)
3
2
MA MB MC MB MC+ + = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur
b)
MA AC MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
c)
2MA MB MC MB MC+ + = −
uuur uuur uuuur uuur uuuur
d)
3 2 2MA MB MC MB MC+ − = −
uuur uuur uuuur uuur uuuur
VD3. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a)
MA kMB kMC O+ − =
uuur uuur uuuur ur
b)
kMA MB kMC+ =
uuur uuur uuuur
c)
(1 )k MA MB kMC O− + − =
uuur uuur uuuur ur
VD4 (Bài toán 4 điểm)
VD5. (Bài toán tổng quát cho n điểm bất kì)
Chủ đề 6. Một số bài toán về khoảng cách
VD1 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất ?
a)
MA MB+
uuur uuur
b)
2MA MB+
uuur uuur
c)
3MA MB−
uuur uuur
d)
3 2MA MB+
uuur uuur
e)
2 3MA MB−
uuur uuur
VD2. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất
a)
MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
b)
2MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
c)
3MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
d)
2MA MB MC− +
uuur uuur uuuur
VD3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất
a)
MA MB MC MD+ + +
uuur uuur uuuur uuuur
b)
2 2MA MB MC MD+ + +
uuur uuur uuuur uuuur
c)
3MA MB MC MD+ + −
uuur uuur uuuur uuuur

d)
2MA MB MC MD− + −
uuur uuur uuuur uuuur
e)
2MA MB MC AB+ + +
uuur uuur uuuur uuur
VD4. (Mở rộng ra bài toán cho n điểm)
Chủ đề 7. Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định
ĐVĐ : Với I là trung điểm AB thì :
+
2MB MA MI+ =
uuur uuur uuur
+ Nếu M, I, N thẳng hàng thì khi đó :
MN kMA kMB= +
uuuur uuur uuur
, hay nói cách khác
Là đường thẳng MN đi qua điểm I cố định.
Từ đó dẫn dắt vào bài toán bằng cách thay điểm I bằng điểm bất kì
Page 3 9/1/2013
A B
I
M
N
Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng
GV : Chu Quèc Hïng
VD1. (Bài toán 2 điểm) Cho hai điểm A B cố định. Hai điểm M, N di động. CMR đường thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định nếu :
a)
2MN MA MB= +
uuuur uuur uuur
b)
2MN MA MB= −
uuuur uuur uuur
c)
2MN MA MB= − +
uuuur uuur uuur
d)
3 2MN MA MB= +
uuuur uuur uuur
VD2. (Bài toán 3 điểm). Cho tam giác ABC và điểm M trong mặt phẳng. CMR đường thẳng MN luôn đi qua
một điểm cố định nếu (Xác định vị trí điểm cố định và điểm N trong mỗi trường hợp)
a)
MB MC MA MN+ + =
uuur uuuur uuur uuuur
b)
2MA MB MC MN+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
c)
2MA MB MC MN+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
d)
2MA MB MC MN+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
e)
MA MB MC MN+ − =
uuur uuur uuuur uuuur
f)
2MA MB MC MN+ − =
uuur uuur uuuur uuuur
VD3.(Tổng quát cho bài toán n điểm)
Page 4 9/1/2013

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Phan loai cac bai tap vecto