LTDH_Chuyen de Tich Phan

Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx
+=

( )
1
1
1
≠+
+
=
+

α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln
≠+=

xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=

( )
10
ln
≠<+=

aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx
+=

sincos
Cxxdx
+−=

cossin
Cxdx
x
+=

tan
cos
1
2
Cxdx
x
+−=

cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd
++=+

1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+

α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+

xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++

1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++=+

sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++−=+

cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+

tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++−=
+

cot
1
sin
1
2
Cudu
+=

( )
1
1
1
≠+
+
=
+

α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln
≠+=

uCu
u
du
Cedue
uu
+=

( )
10
ln
≠<+=

aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu
+=

sincos
Cuudu
+−=

cossin
Cudu
u
+=

tan
cos
1
2
Cudu
u
+−=

cot
sin
1
2
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= Þ = = a = Þ = = b
.
Bước 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
xlnx
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t lnx dt
x
= Þ =
2
x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ =
2
2
1
1
dt
I ln t ln2
t
Þ = = =
ò
.
Vậy
I ln2=
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cosx
I dx
(sinx cosx)
p
=
+
ò
.
1
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cosx 1 dx
I dx .
(sinx cosx) (tanx 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
. Đặt
t tanx 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt
t tanu= L
ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx

ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/
( )dx u t dt=
.
Bước 2. Đổi cận:
, x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
.
Bước 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
∫ ∫ ∫
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ò
.
Giải
Đặt
x sin t, t ; dx costdt
2 2
p p
é ù
= Î - Þ =
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= Þ = = Þ =
6 6
2
0 0
cost cost
I dt dt
cost
1 sin t
p p
Þ = =
-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ò
.
Vậy
I
6
p
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx= -
ò
.
2
Hướng dẫn:
Đặt
x 2sint=
ĐS:
I = p
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tant, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p
÷
ç
= Î - Þ = +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 tan t
p p
+ p
Þ = = =
+
ò ò
.
Vậy
I
4
p
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
x 1 tan t+ =
ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
-
ò
.
ĐS:
I
2
p
=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
ĐS:
I
12
p
=
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos xsin xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t cosx=
ĐS:
2
I
15
=
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t sinx=
ĐS:
8
I
15
=
.
3
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos xsin xdx
p
=
ò
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos xsin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx cos2xsin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx
I
cosx sinx 1
p
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x
t tan
2
=
.
ĐS:
I ln2=
.
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t

= = =
+ + −
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sinx 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= p - Þ = -
x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ =
( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sint 1 sint 1
p
p
p -
p
Þ = - = -
p - + + +
ò ò
0 0
dt dt
I I
sint 1 2 sint 1
p p
p
= p - Þ =
+ +
ò ò
( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
p p
æ ö
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p p p
÷
ç
= = - = p
÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
I = p
.
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sinx)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ = -
4
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= ị = = ị =
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
ị = -
p p
- + -
ũ
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ũ
(1).
Mt khỏc
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ũ
(2). T (1) v (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tng quỏt:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx ,n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = ẻ
+ +
ũ ũ
Z
.
Vớ d 17. Tớnh tớch phõn
6
2
0
sin x
I dx
sinx 3cosx
p
=
+
ũ
v
6
2
0
cos x
J dx
sinx 3cosx
p
=
+
ũ
.
Gii
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sinx 3cosx
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ũ ũ
t
t x dt dx
3
p
= + ị =

1
I J ln3
4
+ =
(2).
T (1) v (2)
3 1 3 1 1 3
I ln3 , J ln3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Vớ d 18. Tớnh tớch phõn
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ũ
.
Gii
t
2
x tant dx (1 tan t)dt= ị = +
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= ị = = ị =
(
)
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tant)dt
1 tan t
p p
+
ị = + = +
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - ị = -
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= ị = = ị =
0
4
0
4
I ln(1 tant)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự
p


ờ ỳ
ị = + = - + -





ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tanu 2
ln 1 du ln du
1 tanu 1 tanu
p p
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
5
( )
4 4
0 0
ln2du ln 1 tanu du ln2 I
4
p p
p
= - + = -
ò ò
.
Vậy
I ln2
8
p
=
.
Ví dụ 19. Tính tích phân
4
x
4
cosx
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x t= -
ĐS:
2
I
2
=
.
Tổng quát:
Với
a > 0
,
0a >
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn
[ ]
; - a a
thì
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ò ò
.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên
¡
và thỏa
f( x) 2f(x) cosx- + =
.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ò
.
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ò
,
x t dx dt= - Þ = -
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - Þ = = Þ = -
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
Þ = - = Þ = + = - +
ò ò
2 2
0
2
cosxdx 2 cosxdx 2
p p
p
-
= = =
ò ò
.
Vậy
2
I
3
=
.
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0
-
=
ò
.
ii/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ò ò
.
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
6
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
,
n!!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n!! 2
p p

-
ù
ù
ù
ù
ù
= =

ù
-
p
ù
ù
ù
ù

ũ ũ
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.
Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =
6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Vớ d 21.
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ũ
.
Vớ d 22.
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ũ
.
II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc
Cho hai hm s
u(x), v(x)
liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú
( ) ( )
/ / / /
/ /
uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + ị = +
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udvị = + ị = +
ũ ũ ũ
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vduị = + ị = -
ũ ũ ũ ũ
.
Cụng thc:
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -
ũ ũ
(1).
Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
b b
b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ũ ũ
(2).
2. Phng phỏp gii toỏn
Gi s cn tớnh tớch phõn
b
a
f(x)g(x)dx
ũ
ta thc hin
Cỏch 1.
Bc 1. t
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
v(x)
v vi phõn
/
du u (x)dx=
khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu
ũ
phi tớnh c.
Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu.
c bit:
i/ Nu gp
b b b
ax
a a a
P(x)sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx
ũ ũ ũ
vi P(x) l a thc thỡ t
u P(x)=
.
ii/ Nu gp
b
a
P(x)ln xdx
ũ
thỡ t
u lnx=
.
Cỏch 2.
7