Lý thuyết và phương pháp giải toán hình học tọa độ oxyz lớp 12

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Nguyễn Phú Hùng
NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Tổng quát:
1. Cho
0

a
. Vecto
b
cùng phương với
a

k

sao cho
akb
=
2. Cho
a

b
không cùng phương. Vecto
c
đồng phẳng với
a

b


lk,

sao cho
blakc
+=
3. Cho ba vecto
a
;
b
;
c
không đồng phẳng và vecto
d
.
Khi đó, tồn tại duy nhất bộ 3 số
);;( zyx
sao cho
czbyaxd
++=
4. Điểm G là trọng tâm
ABC


)(
3
1
,0 OCOBOAOGOGCGBGA
++=∀⇔=++
5. Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD
)(
4
1
,0 ODOCOBOAOGOGCGBGA
+++=∀⇔=++⇔
6. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (
)1

k
k
OBkOA
OMOMBkMA


=∀⇔=⇔
1
,
II. Vecto – Tọa độ vecto và các tính chất
1. Vecto:
Trong không gian Oxyz có 3 vecto đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:
)0;0;1(
=
i
,
)0;1;0(
=
j
,
)1;0;0(
=
k
• Cho điểm M(x;y;z) thì
kzjyixOM ...
++=
• Cho
);;( cbau
=
thì
kcjbiau ...
++=
2. Tính chất vecto:
Cho
);;(
111
zyxu
=

);;(
222
zyxv
=
và 1 số thực k tùy ý, ta có các tính chất sau:






=
=
=
⇔=
21
21
21
zz
yy
xx
vu

);;(
212121
zzyyxxvu
+++=+

);;(
212121
zzyyxxvu
−−−=−

);;(
111
kzkykxuk
=

212121
.... zzyyxxvu
++=
( Tích vô hướng của 2 vecto )
• Độ dài vecto:
2
1
2
1
2
1
zyxu
++=
• Góc hợp bởi 2 vecto :
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
.
...
.
.
);cos(
zyxzyx
zzyyxx
vu
vu
vu
++++
++
==
Lưu ý: nếu góc
ϕ
hợp bởi 2 yếu tố có giá trị:

o
900
≤≤
ϕ
thì khi tính góc ta phải trị tuyệt đối phần tích vô hướng.
( Vì
0cos

ϕ
khi
]90;0[
oo

ϕ
)

o
1800
≤≤
ϕ
thì khi tính góc qua
ϕ
cos
ta không phải trị tuyệt đối
( Vì
ϕ
cos
có thể âm, có thể dương và bằng 0 khi
]180;0[
oo

ϕ

0...0.
212121
=++⇔=⇔⊥
zzyyxxvuvu
3. Chia 1 đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước
Cho 2 điểm
);;(
AAA
zyxA

);;(
BBB
zyxB
. Điểm
);;(
MMM
zyxM
chia đoạn thẳng AB theo một tỷ số k:
1
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Nguyễn Phú Hùng
MBkMA
=
được xác định bởi các công thức:











=


=


=
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
BA
M
1
1
1
*) Chú ý: _ Nếu M nằm trong khoảng AB thì k < 0
_ Nếu M nằm ngoài khoảng AB thì k > 0
_ Nếu M là trung điểm AB thì
1
−=
k
, khi đó:









+
=
+
=
+
=
2
2
2
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx
x
 G là trọng tâm của
ABC











++
=
++
=
++
=
3
3
3
CBA
G
CBA
G
CBA
G
zzz
z
yyy
y
xxx
x
 G là trọng tâm tứ diện ABCD










+++
=
+++
=
+++
=
4
4
4
DCBA
G
DCBA
G
DCBA
G
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
*) Ba điểm thẳng hàng:
Ba điểm:
);;(
AAA
zyxA
;
);;(
BBB
zyxB

);;(
CCC
zyxC
thẳng hàng
ABkAC
=⇔
AB
AC
AB
AC
AB
AC
zz
zz
yy
yy
xx
xx


=


=



4. Tích có hướng của 2 vecto:
Tích có hướng của 2 vecto
);;(
111
zyxu
=

);;(
222
zyxv
=
là 1 vecto kí hiệu
];[ vu
được xác định bởi:








=
22
11
22
11
22
11
;;];[
yx
yx
xz
xz
zy
zy
vu
*) Các tính chất của tích có hướng 2 vecto

vu;
là 2 vecto cộng tuyến ( cùng phương)

0];[
=
vu
2
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Nguyễn Phú Hùng

];[ vuu

,
];[ vuv


);sin(..];[ vuvuvu
=

];[];[ uvvu
−=

];[];[];[ vuvuvu
λλλ
==
với
R

λ

];[];[];[
2121
vuvuvvu
+=+
*) Ứng dụng: Diện tích tam giác
ABC
:
2
1
=

ABC
S
];[ ACAB
5. Tích hỗn tạp
Tích hỗn tạp của 3 vecto
);;(
111
zyxu
=
;
);;(
222
zyxv
=

);;(
333
zyxw
=
được kí hiệu là
wvu ].;[
hoặc
);;( wvuD
được xác định bởi:
=
wvu ].;[
3
22
11
3
22
11
3
22
11
... z
yx
yx
y
xz
xz
x
zy
zy
++
*) 3 vecto đồng phẳng: 3 vecto
);;(
111
zyxu
=
;
);;(
222
zyxv
=

);;(
333
zyxw
=
đồng phẳng

0].;[
=
wvu
*) Ứng dụng:
• Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ :
'].;[
' DC'B'ABCD.A'
AAADABV
=

• Thể tích tứ diện ABCD:
ADACABV
ABCD
].;[
6
1
=
-------------------------------------------
MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
I. Định nghĩa – Phương trình của mặt cầu
1. Định nghĩa
Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm I cố định một khoảng cách bằng R, gọi là mặt cầu tâm I bán
kính R.
2. Phương trình
a) Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) , bán kính R có dạng: (S):
2222
)()()( Rczbyax
=−+−+−
b) Phương trình tổng quát của mặt cầu
Phương trình:
0222
222
=+−−−++
dczbyaxzyx
là phương trình của mặt cầu
0
222
>−++⇔
dcba
Khi đó, mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R =
dcba
−++
222
II. Vị trí tương đối
1. Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có phương trình:
0222
222
=+−−−++
dczbyaxzyx
Gọi A
);;(
000
zyx
là một điểm bất kì trong không gian. Ta có phương tích của điểm A đối với mặt cầu (S) là:
dczbyaxzyxRAIP
SA
+−−−++=−=
000
2
0
2
0
2
0
22
)/(
222

)/( SA
P
< 0

M nằm trong mặt cầu

)/( SA
P
= 0

M nằm trên mặt cầu

)/( SA
P
> 0

M nằm ngoài mặt cầu
2. Vị trí tương đối của 2 mặt cầu
Cho 2 mặt cầu không đồng tâm
)(
1
S

)(
2
S
lần lượt có phương trình là:
0222:)(
1111
222
1
=+−−−++ dzcybxazyxS
)0(
1
2
1
2
1
2
1
>−++
dcba
Có tâm
);;(
1111
cbaI
và bán kính
1
2
1
2
1
2
11
dcbaR
−++=
0222:)(
2222
222
2
=+−−−++
dzcybxazyxS
)0(
2
2
2
2
2
2
2
>−++ dcba
Có tâm
);;(
2222
cbaI
và bán kính
2
2
2
2
2
2
22
dcbaR
−++=
3
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Nguyễn Phú Hùng
 Nếu
)();(
212121
SSRRII
⇔+>
không cắt nhau và ở ngoài nhau.
 Nếu
)();(
212121
SSRRII
⇔−<
không cắt nhau và đựng nhau.
 Nếu
)();(
212121
SSRRII
⇔+=
tiếp xúc ngoài với nhau.
 Nếu
)();(
212121
SSRRII
⇔−=
tiếp xúc trong với nhau.
 Nếu
)();(
21212121
SSRRIIRR
⇔+<<−
cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn.
---------------------------------------
MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Cặp vecto chỉ phương
ĐN: 2 vecto
ba;
gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thẳng
chứa chúng đều song song với (P) hoặc nằm trên (P)
2. Vecto pháp tuyến
ĐN: Vecto
n
là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)








)(
0
Pn
n
NX:
n
là vecto pháp tuyến của (P) thì mọi vecto
nk
với
0

k
đều là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) có cặp vecto chỉ phương là
ba;
thì
n
là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) với :
],[ ban
=
3. Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz chứa điểm M
);;(
000
zyx
và có vecto pháp tuyến
n
(A;B;C) có p/trình là:
00).().().(
000000
=−−−++⇔=−+−+−
CzByAxCzByAxzzCyyBxxA
Đặt
DCzByAx
=−−−
000
, ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):
0
=+++
DCzByAx
(
)0
222
≠++
CBA
*) Chú ý:
Nếu mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
);0;0(),0;;0(),0;0;( cCbBaA
thì (P) có phương trình:
1
=++
c
z
b
y
a
x
(gọi là phương trình đoạn chắn của mp (P))
4. Khoảng cách:
a) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho
),,(
000
zyxM
và mặt phẳng
0:)(
=+++
DCzByAx
α
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng
)(
α
được xác định bằng công thức:
222
000
))/((
CBA
DCzByAx
Md
++
+++
=
α
b) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Cho mặt phẳng
)(
α
đi qua M và mặt phẳng
)(
β
đi qua N
)/(()/(())/()((
αββα
NdMdd
==⇒
5. Góc
a) Góc giữa 2 mặt phẳng
Cho
βα
nn ;
lần lượt là vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:
)();(
βα
Gọi
ϕ
là góc tạo bởi 2 mặt phẳng:
)();(
βα
.Ta có:
βα
βα
ϕ
nn
nn
.
.
cos
=
b) Góc phẳng nhị diện Gọi
ϕ
là góc phẳng nhị diện thì
00
1800
<<
ϕ
6. Vị trí tương đối
a) Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
4
Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Nguyễn Phú Hùng
Cho 2 mặt phẳng: (P):
0
=+++
DCzByAx

);;( CBAn
P
=
(Q):
0''''
=+++
DzCyBxA

)';';'( CBAn
Q
=

QP
nnQP ,)()(
⇔∩
không cùng phương ( hoặc A:B:C # A’:B’:C’ )

''''
)//()(
D
D
C
C
B
B
A
A
QP
≠==⇔

''''
)()(
D
D
C
C
B
B
A
A
QP
===⇔≡
b) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng
)(
α
Gọi d là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng
)(
α
 Nếu d > R

)(
α
và (S) không có điểm chung
 Nếu d = R

)(
α
và (S) có 1 điểm chung, và
)(
α
được gọi là tiếp diện của (S)
 Nếu d > R

)(
α
cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (H; r) trong đó:
 H là hình chiếu của I trên
)(
α

222
dRr
−=
7. Chùm mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng: (P):
0
=+++
DCzByAx
và (Q):
0''''
=+++
DzCyBxA
giao nhau theo giao tuyến

.
Phương trình mặt phẳng (R) qua

có dạng:
0)''''()(
=+++++++
DzCyBxADCzByAx
µλ
( phương trình chùm mặt phẳng) Trong đó
0
22
≠+
µλ
-----------------------------------------
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Vecto chỉ phương của đường thẳng
*) Định nghĩa: Vecto
a
là vecto chỉ phương của đường thẳng d







da
a
//
0
_ Nhận xét:
a
là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vecto
ak.
với
0

k
đều là vtcp của đường thẳng đó.
_ Chú ý: trong không gian Oxyz, đường thẳng chỉ có vecto chỉ phương mà không có vecto pháp tuyến.
II. Phương trình của đường thẳng
1) Phương trình tổng quát của đường thẳng
Vì đường thẳng d trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình
tổng quát của d có dạng:



=+++
=+++
0''''
0
:)(
DzCyBxA
DCzByAx
d
với điều kiện:
':':':: CBACBA

2) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng d đi qua
);;(
000
zyxM
, nhận
),,( cbau
làm vtcp có phương trình:





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
( phương trình tham số )

c
zz
b
yy
a
xx
000

=

=

( phương trình chính tắc ) với a.b.c
0

5