BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
, viết phương trình 2 mặt phẳng (P) và (Q) sao cho (P) chứa d
1
, (Q) chứa d
2

thỏa
( ) ( )P QP
Cách giải: viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và song song với d
2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
2
và song song với d
1
. Khi đó:
( ) ( )P QP
(do mỗi mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau song song).
Các bài tập
1. Cho đường thẳng
2 3 4 0
:
3 2 5 4 0
x y z
d
x y z
− + − =


+ − − =

Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số và
chính tắc.
2. Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đường
thẳng
3 2 7 0
:
3 2 3 0
x y z
d
x y z
− + − =


+ − + =

3. Cho 2 đường thẳng
1 2
1
5 0
: , : 2 ( )
2 1 0
3
x t
x y z
d d y t t
x y
z t
= +

+ − + =


= − + ∈
 
− + =


= −

¡
Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
4. Cho điểm M(2,-3,1) và mặt phẳng (P): x+3y-z+2=0
Tìm hình chiếu của H của M lên mặt phẳng (P).
Tìm điểm đối xứng của M qua (P)
5. Tìm hình chiếu H của M(2,-1,1) lên đường thẳng
1 2
: 1 ( )
2
x t
d y t t
z t
= +


=− − ∈


=

¡
6. Cho 2 đường thẳng:
1 2
1
3 1
: 1 , :
1 2 1
2
x t
x y z
d y t d
z
= +

− −

= − − = =



=

.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
.
1
Giáo viên: Võ Hữu Hoàng Tiến.
7. Cho 2 đường thẳng:
1 2
2 1 3 1 1 1
: , :
1 2 2 1 2 2
x y z x y z
d d
− + + − − +
= = = =
Chứng minh:
1 2
d dP
Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2
8. Cho 2 đường thẳng
1 2
1 2
: ( ), : 1 ( )
x t x s
d y t t d y s s
z t z s
= − =
 
 
= ∈ = − ∈
 
 
= − =
 
¡ ¡
Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
Viết phương trình các mặt phẳng (P) và (Q) sao cho (P) chứa d
1
, (Q) chứa d
2
thỏa
( ) ( )P QP
.
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2,-1,1) và vuông góc với 2 đường thẳng
1 2
1 0 2 1 0
: , :
2 0 0
x y x y
d d
x z z
 + + = + − =

 
− = =


10. Viết phương trình của đường thẳng song song với đường thẳng
3
: 1 ( )
5
x t
y t t
z t
=


∆ = − ∈


= +

¡
và cắt 2 đường
thẳng
1 2
4 3 0
1 2 2
: , :
2 1 0
1 4 3
x y z
x y z
d d
x y z
− + − =

− + −
= =

− − + =

11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1,-1,1) và cắt 2 đường thẳng
1 2
1 2
1 0
: ( ), :
2 3 0
3
x t
x y
d y t t d
y z
z t
= +

+ − =


= ∈
 
+ − =


= −

¡
12. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng y+2z=0 và cắt 2 đường thẳng
1 2
1 2
: , : 4 2
4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
 = − = −

 
= = +
 
 
= =


2
Giáo viên: Võ Hữu Hoàng Tiến.
13. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P): x+2y-3z+5=0 và cắt cả 2 đường thẳng
'
'
1 2
'
1 2
: 4 , : 3
3 4 5
x t x t
d y t d y t
z t z t


= = −


= − + = − +
 
 
= − = −


14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(1,4,2), B(-1,2,4) và đường thẳng
1 2
: .
1 1 2
x y z
− +
∆ = =

a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
(OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất. (ĐH khối D-2007)
15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1,1,3) và đường thẳng d có phương trình

1
1 1 2
x y z

= =

.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O. (CĐ khối D-2008).
16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và 2 điểm A(-3,0,1), B(1,-1,3).
Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách
từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. (ĐH khối B-2009).
17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0 và (Q): 3x+2y-z+1=0. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1,1,1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (P), (Q). (CĐ khối A-
2009).
18. Trong không, gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A(1,1,0), B(0,2,1) và trọng tâm G(0,2,-1).
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC). (CĐ khối A-2009).
19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1,2,1), B(-2,1,3), C(2,-1,1),
D(0,3,1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng
cách từ D đến (P). (ĐH khối B-2009).
20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1,2,3) và 2 đường thẳng:
1 2
2 2 3 1 1 1
: , :
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d d
− + − − − +
= = = =
− −
3
Giáo viên: Võ Hữu Hoàng Tiến.
a. Tìm tọa độ điểm A

đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
(ĐH khối D-2006).
21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-1=0 và 2 đường thẳng
1 2
1 9 1 3 1
: , :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z
+ + − − +
∆ = = ∆ = =

Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆
2
bằng
khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). (ĐH khối A-2009).
22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+2=0 và đường thẳng
(2 1) (1 ) 1 0
:
(2 1) 4 2 0
m
m x m y m
d
mx m z m
+ + − + − =


+ + + + =

Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

với A(0,0,0), B(1,0,0),
D(0,1,0), A

(0,0,1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng A

C và MN.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A

C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α =
1
6

(ĐH khối A-2006)
24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại
gốc tọa độ O. Biết A(2,0,0), B(0,1,0), S(0,0,
2 2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chop S.ABMN.
(ĐH khối A-2004)
25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 và (Q): x-y+z-1=0. Viết phương
trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (R) bằng 2. (ĐH
khối D-2010).
26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tọa độ các điểm A(2,1,0), B(1,2,2), C(1,1,0) và mặt phẳng (P):
x+y+z-20=0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt
phẳng (P). (ĐH khối D-2009).
4
Giáo viên: Võ Hữu Hoàng Tiến.
27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2 2
:
1 1 1
x y z
+ −
∆ = =

và mặt phẳng
( ) : 2 3 4 0P x y z+ − + =
. Viết phương trình đường thẳng d sao cho d nằm trong mặt phẳng (P) cắt và
vuông góc với đường thẳng ∆. (ĐH khối D-2009).
28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1 2
3
2 1
: , :
2 1 2
x t
x y z
y t
z t
= +

− −

∆ = ∆ = =


=

. Xác
định tọa độ điểm M thuộc ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến ∆
2
bằng 1. (ĐH khối D-2009).
29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
1 2
2 1 1
x y z
− +
= =

và mặt phẳng
( ): 2 0P x y z
− + =
. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ biết MC=
6
. Tính
khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) (ĐH khối A-2010).
30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =

và 2 điểm A(1,-
1,2), B(2,-1,0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. (ĐH khối A-2012).
31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng

1 2
1
2 4 0
: , : 2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t
 = +

− + − =
 
∆ ∆ = +
 
+ − + =
 
= +


a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆
1
và song song với ∆
2
.
b. Cho điểm M(2,1,4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
(ĐH khối A-2002).
32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =

và mặt phẳng (P):
2x+y-2z+9=0.
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường
thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với (P). (ĐH khối A-2005).
33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0,1,2) và 2 đường thẳng:
5
Giáo viên: Võ Hữu Hoàng Tiến.