SKKN TOÁN 9

Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC & HỆ THỨC VI-ÉT ĐẢO
RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

- GV : VÕ QUANG HẢI
- Đơn vị : Trường THCS Nguyễn Trường Tộ . Thành Phố Rạch Giá . Tỉnh
Kiên Giang
A . ĐẶT VẤN ĐỀ :
I./ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Qua những năm giảng dạy ở trường THCS . Tôi nhận thấy rằng các
em học sinh , nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các
trường chuyên , trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau
này . Mà ở các kỳ thi đó , nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản
không thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu
thức và thực hiện phép tính căn . Phần lớn các em không làm được bài , bởi
vì các em chưa nhận thấy được các biểu thức đã cho có liên quan đến một
kiến thức rất quan trọng là hằng đẳng thức ( hệ thức VI-ÉT đảo) mà các em
đã được học ở lớp 8 , 9 . Xuất phát từ tình hình đó , qua những năm giảng
dạy và học hỏi ở đồng nghiệp , tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bản
thân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức cơ bản để có thể giải
quyết được vấn đề khó khăn ở trên . Chính vì vậy tôi mới chọn đề tài "Sử
dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức
bậc hai "
II./ PHẠM VI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG
PHÁP THỰC HIỆN :
Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9 và các học sinh khá , giỏi môn
toán và được thực hiện trong các giờ luyện tập , ôn tập , ôn thi vào lớp 10 và
các trường chuyên về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức và thực
hiện phép tính có chứa căn .
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
1
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .
I./ NHẬN XÉT CHUNG :
Ở các kì thi học kì I , học kì II , ôn thi vào lớp 10 , vào các trường
chuyên , học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thực
hiện phép tính có chứa căn thức bậc hai . Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi
học sinh phải nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 và phải
biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập . Cái khó ở đây là các em học bảy
hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ , không
có chứa căn , mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng căn
thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 .
Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên
không làm được bài tập rút gọn . Vì vậy ta phải làm sao cho học sinh nhận
thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 và
hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào
việc giải bài tập .
II./ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC :
Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên , ta cần cho học sinh học kỷ bảy
hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 ( theo thứ tự ):
1) Bình phương một tổng :( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
2) Bình phương một hiệu : ( a - b )
2
= a
2
- 2ab + b
2
3) Hiệu hai bình phương : a
2
– b
2
= ( a + b ).( a – b )
4) Lập phương một tổng : ( a + b )
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5) Lập phương một hiệu : ( a - b )
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6) Tổng hai lập phương : a
3
+ b
3
= ( a + b).( a
2
- ab + b
2
)
7) Hiệu hai lập phương : a
3
- b
3
= ( a - b).( a
2
+ ab + b
2
)
Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo
thứ tự ) viết dưới dạng có dấu căn :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
2
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
3 3
3
3
1) 2
2) 2 1 1
3) .
4) ( ).
5)1 1 (1 ). 1
6) ( )
7) ( 1)
a ab b a b
a a a
a b a b a b a b
a a b b a b a b a ab b
a a a a a a
a b b a ab a b
a a a a
+ + = +
− + = −
− = − = + −
+ = + = + − +
− = − = − + +
+ = +
+ = +
Chú ý :
+ a ; b > 0
+ Hằng đẳng thức số 4 ; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9 , nên tôi không
đưa vào phần ghi nhớ ở lớp 9.
Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn
biểu thức có chứa căn thức bậc hai .
III./ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :
Trong phần này tôi sẽ trình bày hai nội dung chính :
I./ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC , RÚT GỌN BIỂU
THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI :
Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập , tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai như sau :
Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau :
a)
2
1 1
1 0; 1
1
1
a a a
a voi a a
a
a
  
− −
+ = ≥ ≠
 ÷ ÷
 ÷ ÷


  
Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
3
2
2
1 1 1 . 1
1 1 1 . 1
a a a a a a
a a a a
− = − = − + +
− = − = − +

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
3
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán , ta biến
đổi vế trái :
Giải
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
1 1
1
1
1 . 1
1
.
1
1 . 1
1
1 2 .
1
a a a
VT a
a
a
a a a
a
a
a
a a
a a
a
  
− −
= +
 ÷ ÷
 ÷ ÷


  
   
− + +

   
= +
   

+ −
   
 
= + +
 ÷
+
 
Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt :
( ) ( )
2
1 2 1a a a+ + = +
tương tự hđt số 2
lớp 9 . Tiếp tục biến đổi ta được kết quả :
( )
( )
2
2
1
1 . 1
1
VT a VP ðpcm
a
= + = =
+
2 4
2 2 2
)
2
a b a b
b a
b a ab b
+
=
+ +
với a+b >0 và
0b

Nhận xét : a
2
+ 2ab + b
2
= ( a + b )
2
hđt số 1 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta
biến đổi vế trái :
Giải
( )
2 4 2 4
2 2 2 2 2
2
2
2 2
2
. . 0
a b a b a b a b
VT
b a ab b b
a b
ab
b a
a b a b
a VP ðpcm Vi a b
a b a b
b b
+ +
= =
+ +
+
+ +
= = = = + >
+ +
Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 , biết :
1 1 1
: 0 1
1 2 1
a
M Voi a va a
a a a a a
 
+
= + > ≠
 ÷
− − − +
 
#
Nhận xét :
( )
2
( 1)
2 1 1
a a a a
a a a
− = −
− + = −
có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
4
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
Giải
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
1 1 1 1 1 1
: :
1 2 1 1
1
1
1
1 1 1
: .
1
1 1
1
1 1
1 1 0
a a
M
a a a a a a
a a
a
a
a a a
M
a
a a a a
a
a
M Vi a
a a
 
 
+ +
 ÷
= + = +
 ÷
 ÷
− − − + −

 

 
   

+ + +
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
+
− −

   

= = − < >#
Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau( câu c tuyển sinh vào lớp
10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt )
1
) : , 0 ;
) 1 . 1 1 0 1
1 1
a b b a
c a b Voi a b a b
ab a b
a a a a
d a voi a va a
a a
+
= − > ≠

   
+ −
+ − = − ≥ ≠
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
#
Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 :
( )
( )
1
a b b a ab a b
a a a a
+ = +
± = ±
Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 :
Giải :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
1
) : .
1 1
) 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1
1 . 1 1 1
ab a b
a b b a
c VT a b a b a b VP ðpcm
ab a b ab
a a a a
a a a a
d VT
a a a a
a a a a VP ðpcm
+
+
= = − = − = − =

   
+ −
   
+ −
 ÷  ÷
= + − = + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − + −
   
   
= + − = − = − =
Bài 76 / 41 sgk : Cho biểu thức( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn
Đạt năm 2007-2008)
2 2 2 2 2 2
1 : 0
a a b
Q voi a b
a b a b a a b
 
= − + > >
 ÷
− − − −
 
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta rút
gọn câu a :
Giải :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
5
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
(
)
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
) 1 :
.
.
) 3 . :
3 1 2
3 2
a a b
a Q
a b a b a a b
a a b a a a b
Q
b
a b a b
a a b
a a a a b
Q
a b b a b a b b a b
a b
a b a b a b
Q
a b a b a b
a b b a b a b
b Khi a b Ta co
a b b b
Q
a b b b
 
= − +
 ÷
− − − −
 
 
− + − −
= −
 ÷
 ÷
− −
 
− −
− +
= − = −
− − − −

− −
= − = = =
+ − +
− − −
=
− −
= = = =
+ + 2
Bài 85 / 16 sbt : Cho biểu thức :
1 2 2 5
0; 4
4
2 2
x x x
P voi x x
x
x x
+ +
= + + ≥ ≠

− +
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P = 2
Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức :
( ) ( )
4 2 . 2x x x− = + −
và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P
Giải :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2 2 5 1 2 2 5
)
4 4
2 2 2 2
1 2 2 2 2 5
4
2 2 2 4 2 5
4
3 2
3 6 3
4
2 2 2
3
) 2 2 3 2 2 4 16
2
x x x x x x
a P
x x
x x x x
x x x x x
P
x
x x x x x x
P
x
x x
x x x
P
x
x x x
x
b P x x x x
x
+ + + +
= + + = + −
− −
− + − +
+ + + − − +
=

+ + + + − − −
=



= = =

− + +
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
+
Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
6
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
1 1 1 2
: 0; 4 ; 1
1 2 1
a a
Q voi a a a
a a a a
 
 
+ +
= − − > ≠ ≠
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 
 
a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của a để Q dương
Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức , ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8
Giải :
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 2
) :
1 2 1
1 1 1 2 2
:
1 2 1
2 1 2
1 4
1 1
: .
3
3
1 2 1 1
2
) 0 0 3 0( 0) 2 0 2 4
3
a a
a Q
a a a a
a a a a a a
Q
a a a a
a a a
a a
Q
a
a a a a a a
a
b Q vi a a a a a
a
 
+ +
 
= − −
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 
 
   
− − + − − + −
 ÷  ÷
=
 ÷  ÷
− − −
   
       
− − −
− − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
= = =
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − −
       

> ⇔ > ⇔ > > ⇒ − > ⇔ > ⇔ >
Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và
a b≠
)
2
2 2
)
2 2 2 2
) 1
a b a b b b
a
b a
a b a b a b
a a b b a b
b ab
a b
a b
+ −
− − =

− + −
  
+ +
− =
 ÷ ÷
 ÷ ÷

+
  
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi
dấu . Áp dụng vào bài toán , biến đổi vế trái :
Giải :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
)
2 2 2 2 2( ) 2( )
4
( 2 ) ( 2 ) 4
2 2
4
4 4 2
2
2
a b a b b a b a b b
a VT
b a a b
a b a b a b a b
a b a b b
a ab b a ab b b
a b a b
b a b
ab b b
VP ðpcm
a b
a b a b a b
+ − + −
= − − = − +
− −
− + − +
+ − − +
+ + − − + +
= =
− −
+
+
= = = =

+ − −
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
7
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
)
1 1
2 . 1
a a b b a b
b VT ab
a b
a b
a b a ab b
a b
ab
a b
a b a b
a ab b a b VP ðpcm
a b
a b
  
+ +
= −
 ÷ ÷
 ÷ ÷

+
  
  
+ − +
+
 ÷ ÷
= −
 ÷ ÷
+
+ −
  
 
= − + = − = =
 ÷

 

Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức :
( )
2
4a b ab
a b b a
A
a b ab
+ −
+
= −

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Khi A có nghĩa . Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau :
( )
2
2
( )
a ab b a b
a b b a ab a b
± + = ±
+ = +
Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải :
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
4
) : ; 0 ;
4
2 4
)
2
2
a b ab
a b b a
A
a b ab
a ÐK a b a b
a b ab ab a b
a b b a a ab b ab
b A
a b ab a b ab
a b
a ab b
A a b a b
a b a b
A a b a b a b a b b
+ −
+
= −

> ≠
+ − +
+ + + −
= − = −
− −

− +
= − + = − +
− −
= − − + = − − − = −
Biểu thức A không phụ thuộc vào a .
Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức :
3
3
2 1 1
0 ; 1
1 1
1
x x x
B x voi x x
x x x
x
 
 
+ +
= − − ≥ ≠
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
+ + +

 
 
a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 3
Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau :
( ) ( )
( ) ( )
3
3
1 1 1
1 1 1
x x x x
x x x x
− = − + +
+ = + − +
Áp dụng vào bài toán ta có :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
8
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
Giải :
3
3
2 1 1
)
1 1
1
x x x
a B x
x x x
x
 
 
+ +
= − −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
+ + +

 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
1 1
2 1
1 1
1 1
2 1 1
1
1 1
2 1
1 2
1 1
1
1 1
1 1
) 3 1 3 4 16
x x x
x x
B x
x x x
x x x
x x x
B x x x
x x x
x x x
B x x
x x x
x x
B x x
x x x
b B x x x
  
+ − +
+
 ÷ ÷
= − −
 ÷ ÷
+ + +
− + +
  
 
+ − −
 ÷
= − + −
 ÷
− + +
 
 
+ − +
 ÷
= − +
 ÷
− + +
 
 
+ +
 ÷
= − = −
 ÷
− + +
 
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Bài 108 / 20 sbt : Cho biểu thức :
9 3 1 1
: 0 ; 9
9
3 3
x x x
C voi x x
x
x x x x
   
+ +
= + − > ≠
 ÷  ÷
 ÷  ÷

+ −
   
a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1
Nhận xét : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau :
( ) ( )
( )
9 3 3
3 3
x x x
x x x x
− = − +
− = −
Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
9 3 1 1
) :
9
3 3
9 3 1 1
:
3
3 3 3
3 9 3 1 3
3 9 3 1 3
: :
3 3 3 3 3 3
3 3
2
:
3 3
x x x
a C
x
x x x x
x x x
C
x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
C
x x x x x x x x
x
x
C
x x
   
+ +
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

+ −
   
   
+ +
 ÷  ÷
= + −
 ÷  ÷
+
+ − −
   
       
− + + + − −
− + + + − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
= =
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ − − + − −
       
 
+
+
 ÷
=
 ÷
+ −
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
4 3
.
3 3 2 2
3
3 3
.
3 2 2 2 2
x x
x x x x
x x
x
C
x x x
     

 ÷  ÷ ÷
=
 ÷  ÷ ÷
− − +
     
   

− −
 ÷ ÷
= =
 ÷ ÷
− + +
   
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
9
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 2 2
3 3
) 1 1 1 0 0
2 2 2 2 2 2
4
0 2 2 0 ( 0) : 4 0 16
2 2
x x
x x
b C
x x x
x
Vi x x nên x x
x
− + +
− −
< − ⇔ < − ⇔ + < ⇔ <
+ + +

⇔ < + > > − < ⇔ >
+
Bài 5 / 148 sbt : Rút gọn :
( )
2
2 2
0 ; 0 ; 0
x x y y
P x y voi x y x y
x y
+
= − − ≥ ≥ + >
+
Nhận xét : bài toán có hđt sau :
( ) ( )
x x y y x y x xy y+ = + − +
. Áp dụng
vào bài toán
Giải :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
x y x xy y
x x y y
P x y x xy y
x y x y
P x xy y x xy y x xy y x xy y xy
+ − +
+
= − − = − − +
+ +
= − + − − + = − + − + − =
Bài 6 / 148 sbt : Chứng minh đẳng thức ( tuyển sinh vào lớp 10 năm
2006 )
1 1 1 1
: 0 ; 1
1 2 1
a a
voi a a
a a a a a a
 
+ −
+ = > ≠
 ÷
− − − +
 
Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
( )
( )
2
1
2 1 1
a a a a
a a a
− = −
− + = −
Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái :
Giải :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
1 1 1 1 1 1
: :
1 2 1 1
1
1
1
1 1 1 1
: .
1
1 1
1
a a
VT
a a a a a a
a a
a
a
a a a a
VT VT ðpcm
a a
a a a a
a
 
+ +
 
 ÷
= + = +
 ÷
 ÷
− − − + −

 

 
   

+ + + −
 ÷  ÷
= = = =
 ÷  ÷
+
− −

   
Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :
( )
2
1
2 2
.
1 2
2 1
x
x x
P
x
x x
 

− +
= −
 ÷
 ÷

+ +
 
Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
( ) ( )
( )
2
1 1 1
2 1 1
x x x
x x x
− = − +
+ + = +
Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H

I
10