BT-TINH DON DIEU CUA HAM SO

BÀI TẬP – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1. xét chiều biến thiên của các hàm số sau
a.
1 1
2
y
x x
= −

b.
2
1
x
y
x
=
+
c.
2
1
y x x
x
= + −
d.
1
3
x
y
x
+
=
e.
2
2 3y x x= + +
f.
4 3
1
5
2
y x x x= + − +
g.
3 5
4
8
5
y x x= − +
h.
2
2
1
x
y
x x

=
+ +
i.
2
2 3
1
x x
y
x
− +
=
+
k.
2
16
x
y
x
=

l.
3 2
7
x
y
x

=
+
m.
3 2
4
2 3
3
y x x x= − + −
2. chứng minh rằng :
a. hàm số
2
2y x x= −
nghịch biến trên đoạn [ 1; 2]
b. hàm số
4
y x
x
= +
nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [ - 2; 0 ) và ( 0; 2 ]
c. hàm số
2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
d. hàm số
2
8y x x= − + +
mghịch biến trên R
e. hàm số y = x + cos
2
x đồng biến trên R
3. cho hàm số
2
2 2y x x= −

a. cmr hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ 2; +

)
b. cmr phương trình
2
2 2x x −
= 11 có nghiệm duy nhất
4. cho hàm số y = sin
2
x + cosx
a. cmr hàm số đồng biến trên đoạn [ 0;
3
π
] và nghịch biến trên đoạn [
;
3
π
π
].
b. cmr mọi m
( 1;1)∈ −
,phương trình sin
2
x + cosx = m có nghiệm duy nhất trên đoạn [ 0;
π
]
II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THEO THAM SỐ
5. khảo sát sự biến thiên của hàm số theo m
a. y =
1
3
x
3
+ mx b.
2
1
x m
y
x
+
=
+
c.
2
2
2
m x m
y
x m
+
=
+
d.
2
2
1
mx x m
y
x
+ −
=
+
e. y =
sin . cos 1
,
cos . sin
x
y R
x
α α
α
α α
+ −
= ∈
+
f.
(1 2cos ). 4
,
cos . 1
x
y R
x
α
α
α
− −
= ∈
+
III. XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐẺ HÀM SỐ LUÔN ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN MỖI KHOẢNG XÁC ĐỊNH CỦA NÓ.
6. tìm m để hàm số sau :
a. y = x + 2 +
1
m
x −
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b.
3 2
1
2 (2 1) 3 2
3
y x x m x m= − + + + − +
, nghịch biến trên R
c. y =
1
3
x
3
+ mx
2
+ 4x +3, đồng biến trên R.
d.
3 2
1
2(2 ) 2(2 ) 5
3
m
y x m x m x

= − − + − +
. i> luôn đồng biến ii> luôn nghịch biến
e.
3 4mx m
y
x m
+ −
=

. i> luôn đồng biến ii> luôn nghịch biến
f.
3 2 2
1 1 3
(sin cos ). ( in 2 ).
3 2 4
y x x m m x s m x= − + +
, hàm số luôn đồng biến. ds :
5
,
12 12
k m k k Z
π π
π π
+ ≤ ≤ + ∈
g.
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=

, luôn đồng biến ds: m = 0.
IV. TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG NÀO ĐÓ.
7. tìm m để hàm số sau :
a. y = x
2
(m-x) – m , hàm số đồng biến trên (1; 2) ds : m
3≥
b.
2
2 (1 ) 1x m x m
y
x m
+ − + +
=
− +
, nghịch biến trên khoảng ( 2; +

) ds : m
5 3 2≤ −
c.
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
, nghịch biến trên nữa khoảng [ 1; +

) ds : m
14
5
≤ −
d.
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=

, đồng biến trên khoảng ( 1; +

) ds : m
2 3≤ −
e. y = x
3
-3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2, đồng biến trên khoảng ( 2 ; +

) ds : m
5
12

f. y =
3
m
x
3
– (m - 1)x
2
+ 3(m – 2)x +
1
3
, đồng biến trong nữa khoảng [ 2; +

) ds : m
2
3

.
V. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH MỘT BẤT ĐẲNG THỨC
8. chứng minh rằng :
a. tanx > x +
3
3
x
,

x

( 0;
2
π
) b. tanx


4
π
x,

x

[ 0;
4
π
] c. sinx < x ,

x > 0
d. tanx > x ,

x

( 0;
2
π
) e. tanx + 2sinx > 3x ,

x

( 0;
2
π
) f. cosx > 1 -
2
2
x
,

x
0≠
g. sinx > x -
3
6
x
,

x > 0 h. sinx + tanx > 2x ,

x

( 0;
2
π
)
VI. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
9. Giải phương trình sau :

a/
2
4 1 4 1 1x x− + − =
b/
1 3 2 1 3 2x x x+ + + + − = +
c/
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
d/ x
5
+ x
3
-
x31

+ 4 = 0
e/
4
2-x
+
4
x-4
= 2 f/ 2x
4
+ (1-2x)
4
=
27
1

g/ cosx = 1-
2
2
x