MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SAT HÀM SỐ

KHẢO SÁT HÀM SỐ và các bài toán liên quan
Hàm bậc ba
Bài 1: Cho hàm số y = – 3x + 2 ( C ) .
1. a) Khảo sát hàm số trên. Từ đồ thị ( C ), hãy suy ra cách vẽ các đường
y = – 3|x| + 2 (C1) và |y| = – 3x + 2 (C2).
b) Chứng tỏ ( C ) có tâm đối xứng
c) Tìm tất cả các đường thẳng qua A(2;4) và cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C.
Tìm quĩ tích trung điểm I của BC.
2. a) Tìm m để phương trinh – 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm âm.
b) Tìm m để pt – 3x + 6 – = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c) BL theo m số nghiệm của pt: - 3x + 2 = .
d) BL theo m số nghiệm của pt: – 3x = – 3m.
e) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2 – sin3x – .
f) Cho đường tròn (Sm): – 2mx – 4my + – 1 = 0. Tìm m để hai cực trị của ( C )
nằm về hai phía của (Sm) (nằm trong/ ngoài đường tròn)
g) Phương trinh sau có bao nhiêu nghiệm thực: – 3x + 2 = ?
3. a) Viết phương trinh tiếp tuyến (pttt) của ( C )
i) tại A(–2;0)
ii) qua A(–2;0)
iii) song song với d: y = 3x + 1
b) Viết pptt ( tm ) tại M ( C). ( tm ) cắt ( C ) tại M và N. Tính tọa độ của N
4. a) Chtỏ (dm): y = m(x+1) + 4 luôn cắt ( C ) tại điểm P cố định. Tìm m để đường thẳng (dm)
cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt P, Q, R và tiếp tuyến của ( C ) tại Q, R vuông góc với nhau.
b) Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến (C )
c) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) và chúng vuông góc với
nhau.
d) A là điểm tuỳ ý thuộc phần đồ thị của ( C ) nằm giữa hai điểm cực trị. Chm luôn tìm được hai
điểm B, C thuộc ( C ) sao cho các tiếp tuyến với ( C ) tại đó vuông góc với tiếp tuyến tại A.
5. a) Tìm trên ( C ) điểm mà tiếp tuyến với ( C ) tại đó có hệ số góc nhỏ nhất.
b) Chứng minh tồn tại những cặp điểm thuộc ( C ) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Chm đường thẳng nối hai tiếp điểm ấy đi qua một điểm cố định.
c) Ba điểm A, B, C đều thuộc ( C ) và thẳng hàng. Tiếp tuyến với ( C ) tại ba điểm ấy lần lượt
cắt ( C ) tại . Chm ba điểm cũng thẳng hàng.
Bài 2: Cho hàm số y = +m. – 1 (Cm)
1. a) Tìm m để hs có cực trị
b) Chm (Cm) luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi m.
c) Tìm m để phương trinh + – 1 = 0 có nghiệm duy nhât.
d) Tìm m để phương trinh + – 1 = 0 có 3 nghiệm, trong đo có hai nghiệm âm.
e) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm lập thành cấp số cộng.
f) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ thỏa > 9
2. a) Tìm các điểm cố định của họ đường cong (Cm).
b) Tìm m để đồ thị nhân điểm I(1;–3) làm tâmđối xứng.
c) Tìm quĩ tích của điểm uốn của (Cm).
d) Tìm m để đồ thị có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
3. a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.
b) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = –x – 1 tại ba điểm phân biệt A(0;–1), B, C sao cho các
tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc nhau.
Bài 3: Cho hàm số y = + (m – 3)x – 4.
Tìm các giá trị của m để
a) hs đồng biến trên khoảng (0;3)
b) hs nghịch biến với mọi
c) hs có cực trị tại thỏa .
d) hs có cực trị tại thỏa | | 4.
e)đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = 4x + 5.
f) hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x + 12y - 564 = 0
g) hàm số đạt cực tiểu tại x = 3
Hướng dẫn
SGK = Sách giáo khoa Giải tích 12 hiện hành.
SBT = Bài tập Giải tích 12 của các tác giả Ngô Thúc Lanh, .. nxb GD 2000
1. a) cách vẽ đồ thị hs chứa dấu TTĐ: xem bài tập 2.38 SBT
b) xem 2.32 SBT.
c) PT đường thẳng qua A(2;4) có hsg k là d: y = k(x – 2) + 4.
PT hoành độ giao điểm của ( C ) với d: (x – 2)g(x) = 0 với g(x) = ( + 2x + 1 – k).
ycbt phương trinh g(x) = 0 có hai nghiệm khác 2. 0 < k 9.
+ Quĩ tích của I: phần đường thẳng x = –1 ứng với -23 y < 4.
Nhận xét:
A là một giao điểm nên hoành độ của A là một nghiệm của pt hđgđ, gợi ý ta đưa pt về dạng tích
(x – 2).g(x) = 0.
Cách giải khác: ycbt d quay từ AX đến AY (AX // Ox, AY // Oy) trừ vị trí (Ta) là tiếp tuyến với
( C ) tại A, ta lại được kết quả trên.
Về quĩ tích của I: chú ý phần giới hạn. Xem thêm: Bài 1/Bài tập tổng hợp SBT trg 48.
2.
a) 2.27 SBT
b) pthđgđ của © và đường thẳng y = – 4. ĐS –3 < m < - 2
c) đặt k = .
m < 0 <=> k < 0 : 1 nghiêm
m > 0 <=> (Cauchy) Dấu ‘bằng’ khi m = 1.
d) đặt k = – 3m + 2. -> k = f(m). Dựa vào đồ thị ( C ): y = f(x) (thay y = k, x = m) suy ra
k < 0 <=> m < –2: pt đã cho có một nghiệm
k = 0 <=> m = -2 v m = 1: 2 nghiệm
..
e) dùng công thức nhân 3, rồi đặt t = sinx, được y = f(t) với t thuộc đoạn [-1; 1]. Từ đồ thị tìm
được ngay max y = 4. min y = 0
f) A, B: 2 điểm cực trị, tâm I = (a; 2a), bán kính R = 3. ycbt (IA – R)(IB – R) < 0 <=>
< 0. ĐS: 0<m<2/5
g) VP là phương trinh của nửa đường tròn. ĐS: 3 nghiệm.
3. a) 3 bài toán cơ bản về tt. i) y = 9x + 18. ii) thêm một tt y = 0 iii) 2 tt: y = 3x+2 .
b) Tm là tiêp tuyến tại M(m; m’) tùy ý thuộc ( C ). Viết phương trinh hđgđ của Tm với ( C ), chú
ý pt này tiêp xúc với ( C ) tại M nên có thể đưa về dạng tích (x+2m) = 0. Từ đó suy ra
hoành độ của N bằng –2m.
4. a) pthđgđ: (x + 1).g(x) = 0 => điểm cố định P = (–1;4).
(dm) cắt ( C ) tại 3 điểm <=> phương trinh g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác –1 <=> -9/4
< m . Với đk này (dm) cắt ( C ) tại P, Q, R .
Tiếp tuyến tại Q, R lần lượt có hệ số góc =f’( ), =f’( ) trong đó hoành độ của Q, R là
nghiệm của phương trinh g(x) = 0 (*).
Hai tiếp tuyến này vuong góc <=> = -1. Thế các giá trị của vào, đồng thời áp dụng
định lí Viet vào (*) ta tìm được các giá trị của m thỏa ycbt.
b) Gọi M = (m;4) là điểm nằm trên đường thẳng y = 4. Viết pt đt qua M. Viết hệ đktx. Khử k,
được pthđ tiếp điểm, là một pt bậc 3. Chú ý rằng A(-1;4) là một tiếp điểm nên pt bậc 3 này có
thể viết dứoi dạng (x+1).g(x) = 0. ycbt <=> hệ đktx có 3 nghiệm (x,k) <=> g(x) có hai
nghiệm pb khác –1. ĐS: -1 m < -2/3 v m > 2.
c) = câu b + câu a. ĐS m = 28/27.
d) đk bài toán -> A có hoành độ a thỏa –1 < a < 1. Tiếp tuyến (Ta) của ( C ) tại A có hsg k =
– 3 -> k < 0.
Tiếp tuyến tại điểm thuộc ( C ) có hsg f’(x). Tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với
(Ta) <=> phương trinh f’(x).k = -1 có hai nghiệm phân biệt. (chú ý đã chm được k < 0).
5a) Tiếp tuyến tại điểm thuộc ( C ) có hsg f’(x) = ________ >= -3. Dấu bằng khi x = 0.
Nhận xét: khi a > 0, tt tại điểm uốn có hsg nhỏ nhất. Khi a < 0 thì sao ? Chm ?
b) 2 tt song song <=> k = k’ <=> x = -x’ -> hai điểm thuộc ( C ) có hoành độ x và – x thì tt tại
đó song song với nhau. Dễ dàng chm được hai điểm này đối xứng nhau qua điểm uốn.
c) A, B, C thẳng hàng -> . Ta cũng sẽ chứng minh thăng hàng bằng
cách chm . Gợi ý: Chuyễn các biểu thức vectơ thành các biểu thức toa độ, chú
ý cách tính tọa độ các điểm … đã làm ở câu 3b.
Hướng dẫn
Bài 2
1
a) hàm bậc 3 có ctrị <-> phương trinh y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
b) f(0) = -1, mặt khác f(x) -> khi x -> suy ra dpcm
c) ycbt <-> (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất <-> (Cm) có hai điểm cực trị nằm cùng
phía đối với Ox <-> > 0.
d) ycbt <-> (Cm) có hai điểm ctrị nằm hai bên Ox, y(0) < 0 và < 0.
e) 1) đk phương trinh có 3 nghiệm <-> (Cm) cắt Ox tại 3 điểm <-> hai điểm ctrị nằm hai bên
Ox
2) pt có 3 ngiệm x_1; x_2; x_3 <-> . Khai triển hai vế
suy ra x_1 + x_2 + x_3 = -m.
3) ba nghiệm lập thành CSC <-> x_1 + x_3 = 2x_2. Từ 2) suy ra x_2 = -m/3. Thế vào pt hs,
tính được m =
Nhận xét: bước 2) thực chất là chm định lí Viet cho phương trinh bậc ba. ĐL này không có trong
SGK PT hiện hành nên phải chm khi sử dụng.
f) cách giải tương tự bài 9 SBT trg 52. ĐS m > 3 (Chú ý loại m < -3)
2
a) xem lại bài 9 SBT trg 52. ĐS (0; -1)
b) dời trục: x = X + 1; y = Y – 3. Xem thêm: bài 2.32, bài 7 trg 51 SBT
c) Tìm tọa độ điểm uốn, rồi khử m (tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m) DS y =
d) điểm đx của M(a;b) qua gốc tọa độ là M’(-a; -b). M và M’ thuộc (Cm) nên có tọa độ thỏa mãn
phương trinh hs. Thế tọa độ của chúng vào pths -> b = a^3; ma^2 = 1. Hệ có nghiệm <-> m
> 0
3.
a) Viết hệ đk tx của (Cm) với Ox: y = 0, giải ra được m =
Có thể giải bằng cách nhân xét rằng (Cm) chỉ có tiếp tuyến nằm ngang tại các điểm cực trị suy
ra ycbt <-> giá trị y cực trị = 0 Từ đó tính được m
b) Phương trinh hđgđ: x.(x^2 + mx + 1) = 0. (Cm) cắt d: y = - m – 1 <-> phương trinh g(x) =
x^2 + mx + 1 = 0 có hai nghiệm phb <-> |m| > 2. Khi đó hoành độ cuả B, C là nghiệm x_1;
x_2 của pt g(x) = 0. Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C lần lượt có hsg là k_1 = y’(x_1) và k_2 =
y’(x_2). Từ k_1.k_2 = - 1 và từ hệ thức Viet -> m^2 = 5
Viết phương trinh parabole qua hai điểm cực trị và điểm A cho trước
Về lí thuyết thì ta có thể (i) tính tọa độ hai điểm cực trị (ii) thế tọa độ của chúng và của điểm A
đã cho vào phương trinh parabole y = ax^2 + bx + c, được hệ bậc nhất gồm ba phương trinh
ba ẩn (a,b,c) tham số m (iii) giải hệ, suy ra phương trinh của parabole. Nhưng trên thực tế thì
ngay cả khi hoành độ của hai điểm cực trị là các nhị thức của m thì tung độ của chúng cũng khá
cồng kềnh và thú thật tôi chẵng muốn thử thách tính kiên nhẫn của mình bằng cách ngồi giải hệ
này chút nào. Chúng ta thử cố gắng tìm xem có cách nào khác hợp lí hơn chăng?.
Thông thường khi gặp một bài toán lạ chưa có hướng giải, ta tìm cách đặc biệt hóa nó để mong
tìm ra được qui luật nào đó, gợi ý cho lời giải tổng quát. Ở đây đặc biệt hóa coi như thất bại. Ta
hãy theo lời khuyên của Polya Hãy thử nghiên cứu cẩn thận bài toán tương tự nhưng đơn giản
hơn . Ta nghĩ đến bài toán quen thuộc và về mặt nào đó có vẽ tương tự nhưng đơn giản hơn:
Viết phương trinh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc ba y = f(x) .
Ta đã biết cách giải bài toán này:
(i) nếu tọa độ hai điểm cực trị tính được đơn giản (là các biểu thức nguyên của m - ví dụ bài 1
trong đề thi TSĐH A-2002) thì bt qui về Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm có tọa độ
cho trước .
(ii) nếu tọa độ của hai điểm cực trị tính toán cồng kềnh, ta lấy y chia cho y’ rồi viết lại dứơi
dạng y = P(x).y’ + R(x) (*), trong đó P(x), R(x) là thương và dư trong phép chia. Do tại các
điểm cực trị y’ = 0 nên tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trinh y = R(x), đó chính là
phương trinh đt qua hai điểm cực trị.
Trình bày cách giải như thế rõ ràng không giúp gì cho bài toán đang xét. Ta có thể trình báy
cách tìm R(x) theo cách khác không ?
Từ (*) ta có R(x) = y – P(x).y’ .
Ta nhận xét rằng ở VP y là hàm bậc ba , y’ là hàm bậc hai của x, và sở dĩ ta được R(x) là một
hàm bậc nhất vì P(x) chứa những số hạng thích hợp nên các số hạng bậc ba và bậc hai ở VP bị
triệt tiêu.
Thế ta có thể chọn P(x) sao cho chỉ số hạng bậc ba ở VP triệt tiêu không? Rõ ràng khi đó R(x) sẽ
là một hàm bậc hai của x, tham số m. ĐK parabole y = R(x) qua điểm A cho trước sẽ giúp ta
xác định m.
Hóa ra bài toán thoạt nhìn có vẽ lạ và khó khăn thật ra lại còn dễ hơn (do chọn P(x) dễ hơn) bài
toán quen thuộc Viết phương trinh đường thẳng .. .
Và qua gợi ý của Mr Stoke ta có thêm câu hỏi mới cho bài toán 3 ở trên :
h) Viết phương trinh parabol đi qua hai điểm cực trị và điểm A(3;2)
Thay vì qua hai điểm cực trị (= có hoành độ thỏa mãn đk y’ = 0) ta có thể buộc qua hai điểm
B,C có hoành độ thỏa đk g(x) = 0 nào đó. Ta lại có thể thêm bài toán mới nữa:
i) Viết phương trinh parabol đi qua hai điểm có hoành độ thỏa mãn đk và điểm
A(3;2)
k) Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm có hoành độ thỏa mãn đk
Dựa vào các bài toán đã có chắc ta có thể phát triễn thành nhiều, rất nhiều bài toán khác nữa.
Hướng dẫn (tiếp) Bài 3
a) y’ có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa đk . ĐS
b) với mọi x >= 1 thì y’ <= 0 <=> h(x) = . ĐS m <= 2.
Nhận xét : Thử giải lại câu a bằng phương pháp hàm số; câu b bằng pp tam thức bậc hai và so
sánh hai cách giải.
c) y’ có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa x_1< -1 < x_2 <=> -1.y’(-1) < 0. ĐS: m < -2
d) ĐK để hs có ctrị: m < -1 v m > 2 (*). Khi đó hoành độ hai điểm ctrị là nghiệm của pt y’ = 0.
Từ đl Viet và từ ĐK đề bài cho ta được hệ bậc nhất 3 pt 3 ẩn (x_1,2; m). Giải ra được
. Nhớ kiểm tra ĐK (*) để lấy giá trị m thích hợp.
e) PT đường thẳng qua hai điểm cực trị: Viết lại phương trinh hs dưới dạng y = P(x).y’ + R(x)
(Lấy y chia cho y’, được thương là P, dư là R. Do tại các điểm cực trị y’ = 0 nên toạ độ các điểm
cực trị thỏa mãn phương trinh y = R(x) -> phương trinh đt qua hai điểm cực trị.
Cho hsg của phương trinh đt D này bằng 4, tính được m.
f) Hai điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua d: x + 12y – 564 = 0 <=> d là trung trực của đoạn
AB <=> đường thẳng qua A, B vuông góc với d và trung điểm I của AB thuộc d
- tích hsg của D (đường thẳng qua hai cực trị) và hsg của d bằng -1 => m = -4 v m = 5.
- tính tọa độ của I theo m. Kiểm tra giá trị nào của m thì điểm I thuộc d? ĐS m = 5
g) y'(3) = 0, y’’(3) > 0 -> không tồn tại giá trị nào của m thỏa ycbt
hàm trùng phương
Bài 4: Cho hàm số y = (Cm).
a) BL theo m số cực trị của (Cm)
b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành một cấp số cộng.
c) Khảo sát hàm số khi m = 3
-------------------------------------------------
Hướng dẫn:
a) qui về bài toán xét dấu đạo hàm theo m. ĐS: m <= 0: 1 ctrị, m > 0: 3 ctrị
b) 2.37 SBT (= cách giải tương tự bài 2.37 SBT) . ĐS: m = 10; m = 10/9.
hàm nhất biến (hàm 1/1)
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = (H)
1.
a) khảo sát hàm số.
b) dựa vào đồ thị (H), vẽ các đường cong sau:
(i) y =
(ii) | y | =
(iii) y =
2.
a) Chứng tỏ (H) nhận I (là giao của hai tiệm cận) làm tâm đối xứng
b) Chứng tỏ (H) nhận đường thẳng b: y = x –1 làm trục đối xứng
c) Tìm các điểm thuộc (H) đối xứng nhau qua đường thẳng c: y = 2x + 1.
d) Gọi (H’) là hình đối xứng của (H) qua đường thẳng d: y = –1. Viết phương trinh của (H’)
3.
a) Tìm các giá trị của m để phương trinh = m có đúng hai nghiệm t thuộc đoạn [0; ]
b) Chứng tỏ đường thẳng d: y = 2x + m luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác
nhau.
Tìm các giá trị của m để MN có độ dài nhỏ nhất
c) Tìm m để đường thẳng y = –x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B.
Tìm quĩ tích trung điểm J của AB.
d) Chứng tỏ diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), trục hoành và hai đường thẳng x = m + 2 và