Bài tập Thể Tích

Th tớch hỡnh 12 ễn thi i hc
BI TP :TH TCH KHI A DIN
B.Bi tp
B ài 1: Khi lng tr t giỏc u ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cú khong cỏch hai ng thng AB
v A
1
D bng 2 v di ng chộo ca mt bờn bng 5.
a)H AK

A
1
D (K

A
1
D ).CMR AK =2
b)T ớnh th tớch khi lng tr ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
Bài 2 : Cho hình chóp tam giác đều SABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2
6
.Điểm M,N là trung điểm của cạnh AC,AB tơng ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN
Bi 3:Cho hỡnh hp ch nht ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
vi AB=a;BC= b;AA
1
a)Tớnh din tớch tam giỏc ACD
1
theo a,b,c
b)Gi s M,N ln lt l trung im ca AB v AC. Tớnh th tớch ca t din D
1
DMN
theo a,b,c
Bi 4:Cho hỡnh chúp SABC nh S, ỏy l tam giỏc cõn AB=AC=3a,BC=2a. bit rng
cỏc mt bờn (SAB),(SBC),(SCA) u hp vi mt phng ỏy (ABC) mt gúc 60
o
.K
ng cao SH ca hỡnh chúp.
a)Chng t H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC v SA

BC
b)Tớnh th tớch ca khụi chúp
Bi 5: Cho hỡnh chúp u SABCD, ỏy ABCD l hỡnh vuụng cú cnh 2a.Cnh bờn SA =
a
5
.Mt mt phng (P) i qua A,B v vuụng gúc vi mf(SCD),(P) ln lt cỏt SC,SD
ti C
1
v D
1
.
a) Tớnh din tớch ca t giỏc ABC
1
D
1
b) Tớnh th tớch ca khi a din ABCDD
1
C
1
Bi 6:Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD nh S, di cnh ỏy AB=a v gúc SAB
=60
o
.Tớnh th tớch hỡnh chúp SABCD theo a
Bi 7:Cho tam giỏc u ABC cnh a.Trờn ng thng d vuụng gúc vi mf(ABC) ti
Aly im M.Gi H l trc tõm ca tam gicBC,K l trc tõm ca tam giỏc BCM
a) CMR MC

(BHK) ; HK

(BMC)
b)Khi M thay i trờn d,tỡm GTLN ca th tớch t din KABC
Bi 8: Trên nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R, lấy điểm C tuỳ ý. Kẻ CH vuông góc với
AB. Gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại
I, lấy điểm S sao cho góc ASB = 90
0
.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60
0
.
b) Cho AH = x. Tính thể tích khối tứ diện SABC theo R và x. Tìm vị trí của C để thể tích
đó lớn nhất.
B i 9: Cho đờng tròn đờng kính AB = 2R trong mặt phẳng (P) và một điểm M nằm trên
đờng tròn đó sao cho góc MAB bằng 30
0
. Trên đờng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A,
lấy điểm S sao cho SA = 2R. Gọi H và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SM,
SB.
a) Chứng minh rằng SB vuông góc với mặt phẳng (KHA).
b) Tính thể tích khối tứ diện SKHA.
- 1 -
Th tớch hỡnh 12 ễn thi i hc
B i 10. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của
cạnh BC và I là tâm của mặt bên CCDD.
a) Xác định thiết diện của hình lập phơng với mặt phẳng (AIK).
b) Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AIK) chia ra trên hình lập ph-
ơng.
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các
cạnh AD, AB, SC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
b) So sánh thể tích của hai khối đa diện do mặt phẳng (MNP) chia ra trên hình
chóp.
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều có chiều cao h và cạnh đáy a. Tính thể tích của khối lập
phơng có một mặt nằm trên đáy của hình chóp và 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh bên của hìmh
chóp đó.
Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1
. Trên tia A
1
B
1
lấy điểm M sao cho
B
1
M =
1
2
A
1
B
1
. Qua M và các trung điểm của A
1
C
1
và B
1
B dựng một mặt phẳng. Tính tỉ số
thể tích hai phần của khối lăng trụ do mặt phẳng này chia ra.
Bài 14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Qua A, B và trung điểm của SC dựng một
mặt phẳng. Tinh tỉ số thể tích hai phần của khối chóp do mặt phẳng này chia ra.
Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M thay đổi trên đờng thẳng vuông góc
với mặt phẳng (ABC) tại A (M không trùng với A). Gọi O và H theo thứ tự là trực tâm của
tam giác ABC và MBC. Xác định vị trí của M để thể tích khối tứ diện OHBC đạt giá trị
lớn nhất.
Bài16. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD. Thiết diện của hình lập phơng tạo bởi mặt
phẳng đi qua đỉnh A, trung điểm của cạnh BC và tâm của mặt DCCD chia khối lập ph-
ơng thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 17. Cho hình tứ diện ABCD có BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gọi H là chân của đ-
ờng cao hình tứ diện xuất phát từ A, K là chân của đờng vuông góc hạ từ H xuống AD.
Đặt AH = a, HK = b. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a và b.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC bằng
. Cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy. Lấy trung điểm P của BC và các điểm
M, N lần lợt trên AB, AC sao cho AM = AN = AP. Tính thể tích của khối chóp S.AMPN.
Bài 19. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC = a), BB = CC = a là hai đoạn thẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía với mặt phẳng đó. Tính thể tích của
khối chóp A.BCCB.
Bài 20. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB
= SC = SD = a.
a) Tính đờng cao và thể tích khối chóp theo a.
b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB,
SD lần lợt tại Q, R. So sánh các đoạn thẳng QB, RD với SB.
c) Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích
bằng nhau.
- 2 -
Th tớch hỡnh 12 ễn thi i hc
Bài 21. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB =
a
, BD =
2
3
a
. Trên đờng
thẳng vuông góc với (P) và đi qua giao điểm của hai đờng chéo hình thoi, lấy điểm S sao
cho SB =
a
.
a) Chứng minh rằng tam giác ASC là tam giác vuông.
b) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 22. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh
a
. Gọi A, B, C, D theo thứ tự là trung điểm
của AB, AC, CD, BD.
a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông.
b) Tính thể tích của khối đa diện DAABCD theo
a
.
c) Tính thể tích của khối đa diện DAABCD theo
a
nếu A, B, C, D theo thứ
tự là điểm nằm trên cạnh AB, AC, CD, BD sao cho AA = BB = CC = DD =
4
a
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA = 2a
và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lợt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đờng thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCMN.
Bài 24.Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2

.
Hãy tính thể tích khối chóp
Bài 25.Biết thể tích khối hộp ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
bằng V. tính thể tích khối tứ diện ACB
1
D
1
Bài 26 . Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đờng cao SH
a) Chứng minh SA

BC
b) Tính thể tích của khối chóp SABC
Bài 27.Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân AB=AC= a.mf(SBC) vuông góc
với mf(ABC) và SA=SB =A.
a)CMR tam giác SBC là tam giác vuông
b)Cho SC = x.Tính thể tích khối chóp theo a và x
Bài 28.Cho một hình chóp có đáy là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
a.Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy,hai mặt bên còn lại đều tạo với đáy góc 45
o

a)CMR hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp xuống đáy là trung điểm cạnh huyền
của đáy
b)Tính thể tích của khối chóp
Bài 29.Cho hình chóp tứ giác đều SABCDcó cạnh bên tạo với đáy một góc 60
o
và cạnh
đáy bằng a.Tính thể tích của khối chóp
Bài 30.Cho lăng trụ đều ABCA
1
B
1
C
1
.Tam giac ABC
1
có diện tích là
3
S và hợp với mặt
đáy góc

a)Tính thể tích lăng trụ
b)S không đổi,cho

thay đổi.Tính

để thể tích lăng trụ lớn nhất
Bài 31:Cho lăng trụ đều ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh đáy a.Góc giữa đừơng chéo AC
1
và đáy là
60
o
.Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 32.Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
,đáy ABC cân đỉnh A.Góc giữa AA
1
và BC
1
là 30
o
và khoảng cách giữa chúng là a.Góc giữa hai mặt bên qua AA
1
là 60
o
.Tính thể tích lăng trụ
Bài 33.
- 3 -
Th tớch hỡnh 12 ễn thi i hc
Cho lăng trụ ABCA
1
B
1
C
1
đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu cảu A
1
lên măt phẳng
(ABC) trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Biết góc BAA
1
= 45
o
.Tính thể
tích lăng trụ
Bài 34.
Cho hình hộp ABCDA
1
B
1
C
1
D
!
có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,góc A bằng 60
o
.Chân đ-
ờng vuông góc hạ từ B
1
xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đờng chéo của đáy.Biết
BB
1
=a
a)Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b)Tính thê tích của khối hộp
Bài 35.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA

(ABCD) và SA =
a
2
.Trên cạnh đáy AD lấy điểm M thay đổi,đặt góc ACM =

.Hạ SN

CM .Chứng
minh N luôn thuộc một đờng tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a và

Bài 36.Cho lng tr tam giỏc ABCA
1
B
1
C
1
c ỏy ABC l mt tam giỏc ờù cạnh a,điểm
A
1
cách đều các điểm A,B,C.Cạnh AA
1
tạo

với mặt phẳng đáy một góc 60
o
a)Tính thể tích khối lăng trụ
b)Chứng minh mặt bên BCC
1
B
1
là một hình chữ nhật
Bài 37.Hình lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
đáy ABC là một tam giác vuông tại A,AC=b,góc C
=60
o
.Đờng chéo BC
1
tạo với mf(A A
1
C
1
C) một góc 30
o
.
a)Tính độ dài AC
1
b)Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 38.Cho hình chóp SABC .Trên các tia SA,SB,SC lần lợt lấy các điểm A

,B

,C

.
CMR
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
SABC
CBSA
'''
..
'''
=
Bài 39.Cho hình chóp tam giác SABC có SA = x;BC= y;các cạnh còn lại đều bằng 1.
a)Tính thể tích khối chóp theo x,y
b)Với x,y bằng bao nhiêu thì thể tích khối chóp lớn nhất?
Bài 40. Trong khụng gian cho on OO
1
= H v hai na ng thng Od,O
1
d
1
cựng
vuụng gúc vi OO
1
v vuụng gúc vi nhau. im M chy trờn Od, im N chy trờn
O
1
d
1
sao cho ta luụn cú OM
2
+O
1
N
2
=k
2
(k cho trc)
a)Chng minh on MN cú di khụng i
b)Xỏc nh v trớ M trờn Od v N trờn O
1
d
1
sao cho t din OO
1
MN cú th tớch ln
nht.
- 4 -