Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìm cực trị đại số

Sở giáo dục và đào tạo hải dơng
Tên sáng kiến
tìm cực trị bằng phơng pháp
phơng trình bậc hai
Môn : Toán
Khối lớp : 9
Năm học: 2005 2006
Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan

Phần ghi số

Phách của PGD
Tên sáng kiến
tìm cực trị bằng phơng pháp
phơng trình bậc hai
Môn : Toán
Khối lớp : 9
Đánh giá của trờng
(Nhận xét, xếp loại, ký đóng dấu)







Tên tác giả : Nguyễn Xuân Phan
2
Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan
Đơn vị công tác : Trờng THCS Nguyễn Huệ

Phần ghi số

Phách của PGD
Tên sáng kiến
tìm cực trị bằng phơng pháp
phơng trình bậc hai
Môn : Toán
Khối lớp : 9
Đánh giá của Phòng giáo dục
(Nhận xét, xếp loại, ký đóng dấu)







Tên tác giả :
Đơn vị công tác :
3
Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan
Muốn chỉnh sửa tài liệu hãy liên hệ :
Anh Nguyễn Xuân Phan điện thoại 0987865472 hoặc 0320784628
phần thứ nhất
mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) có một vị trí xứng
đáng trong chơng trình dạy và học toán ở khối T.H.C.S. Các bài toán này rất phong
phú về thể loại, về cánh giải. Nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiều kiến thức
và vận dụng một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo. Có nghĩa đây thực sự là một bài
toán khó.
Vì vậy chúng thờng xuyên có mặt trong các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 cũng nh các
kỳ thi học sinh giỏi.
Để phần nào giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 9, chúng tôi
xây dựng chuyên đề Giải bài toán cực trị bằng phơng pháp phơng trình
bậc hai.
Nội dung của nó là ứng dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm vào việc tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số. Cụ thể là :
* Thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị.
* Củng cố, khắc sâu cách giải phơng trình bậc hai.
Việc thể hiện các nội dung trên đợc trình bày thông qua hệ thống ví dụ từ dễ đến
khó. Cuối cùng là hệ thống bài tập để luyện giải.
2. Giới hạn của đề tài
a, Về kiến thức
4
Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan
Để giải bài toán tìn cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp T.H.C.S có
thể trình bày theo 1 trong các cách sau :
Cách 1 : Dùng bất đẳng thức đại số :
*
1
( ) ;f x K x
TXĐ ( K
1
= Const )
Dấu = Có thể thực hiện đợc f
min
= K
1
.
*
2
( ) ;f x K x
TXĐ ( K
2
= Const )
Dấu = Có thể thực hiện đợc f
max
= K
2
.
Cách 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2
Gọi y
0
là 1 giá trị của f(x) có thể đạt đợc
x

TXĐ/ f(x) = y
0
(I)
Khai thác điều kiện để (I) có nghiệm
x

TXĐ ta tìm đợc miền giá trị T của hàm số
f(x) từ đó tìm thấy f
max
, f
min
(nếu có).
Nội dung đề tài này chỉ nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại số theo cách 2,
đồng thời tổng kết xem với cách này có thể tìm đợc cực trị của những biểu thức đại
số dạng nh thế nào?
b, Về đối tợng áp dụng
Đề tài này dùng để ôn tập, trang bị cho học sinh có học lực khá, giỏi sau khi đã
học về công thức nghiệm của phơng trình bậc hai và định lý Viét.
Đồng thời đề tài này có thể dụng làm tài liệu tham khảo cho các đồng chí giáo
viên giảng dạy bộ môn toán.
5
Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan
Muốn chỉnh sửa tài liệu hãy liên hệ :
Anh Nguyễn Xuân Phan điện thoại 0987865472 hoặc 0320784628
Phần thứ hai
Tình hình nghiên cứu và công việc đã làm đợc
A. Tình hình nghiên cứu
Qua thực tế giảng dạy, ôn tập cho học sinh lớp 9 nhiều năm và qua tham khảo tài
liệu tôi thấy :
Khi gặp bài toán tìm cực trị của hàm f(x) hầu hết các tài liệu ôn tập đều hớng dẫn
làm theo phơng pháp Dùng bất đẳng thức đại số. Đây là miột phơng pháp hay,
dễ trình bày đối với học sinh, học sinh có thể giải thành thạo bài toán trong trờng hợp
f(x) là 1 hàm số bậc 2 hoặc dạng phân thức đặc biệt. Tuy nhiên khi gặp dạng f(x) là
một phân thức hoặc một biểu thức căn thì phơng pháp Dùng bất đẳng thức đại
số lại không phù hợp, nó làm cho học sinh lúng túng vì cách làm lại mang tính chất
áp đặt không tự nhiên, không hình thành cho học sinh một phơng pháp suy luận.
Ví dụ : Trong tài liệu ôn tập môn toán 9 của sở giáo dục Hải Hng năm 1996, đề 3
câu 2:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A với :
2
2
2 3
2
x x
A
x
+ +
=
+
Giải : Phơng pháp dùng bất đẳng thức đại số
Để tìm Min A ta biến đổi:
2 2
2
2 2
1 1
( 2) 2 2
1 ( 2) 1
2 2
2 2 2( 2) 2
x x x
x
A
x x
+ + + +
+
= = +
+ +
1 1
2 min 2
2 2
A x A x
= = = =
Để tìm maxA ta biến đổi:
6
Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan
2 2 2
2 2
2( 2) 2 1 ( 1)
2 2
2 2
x x x x
A
x x
+ +
= =
+ +
2 1A x
= =
maxA = 2
1x
=
Vậy Max A = 2 khi x = 1; Min A =
1
2
khi x = - 2
Rõ ràng cách giải này ngắn gọn nhng mang tính áp đặt. Học sinh có thể thắc
mắc dựa trên cơ sở suy luận nào mà tách đợc A nh vậy nếu đối với 1 biểu
thức B khác thì tách nh thế nào? Trờng hợp biểu thức C có cực trị là một giá trị vô tỉ
thì làm thế nào để tách đợc?
Một ví dụ khác :
Câu 4 đề 4 tài liệu ôn tập toán 9 của sở giáo dục Hải Hng năm 1997 có bài
Cho
2 2
3 1.x y
+ =
Tìm giá trị lớn nhất của
A x y
=
Giải : Dùng bđt đại số
Nhận thấy x- y và
2 2
3x y
+
là các thành phần của bđt B.C.S
2 2 2 2 2
( . . ) ( )( )a x b y a b x y+ + +
. áp dụng bđt trên ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 4
( ) ( ( 3 )) (1 ( ) )( ( 3 ) )
3
3 3
x y x y x y = + + + =
2
4 2
( )
3
3
x y x y
maxA =
2
3
. Dấu = xảy ra khi :
3 3 3
( ; ) ( ; )
6 6
x y

=
hoặc
3 3 3
( ; ) ( ; )
6 6
x y

=
Cách giải này là quá khó đối với học sinh thậm chí khó cả đối với giáo viên.
Trong thực tế giảng dạy tôi đã chữa cho học sinh 2 ví dụ trên theo cách dùng bất
đẳng thức đại số sau đó cho học sinh làm 2 ví dụ tơng tự, kết quả số học sinh
làm đợc là không đáng kể.
Để giải quyết đợc phần nào khó khăn cho học sinh khi gặp dạng toán tìm cực
trị của hàm phân thức, căn thức chúng ta có thể trang bị cho học sinh phơng pháp
7
Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan
miền giá trị cơ sở lý luận của phơng pháp này là điều kiện có nghiệm của phơng
trình bậc 2, đó là một vấn đề quen thuộc đối với học sinh lớp 9.
Tôi nghĩ rằng phơng pháp tìm cực trị này cần đợc tổng kết và áp dụng vào giảng dạy,
ôn luyện cho học sinh nhằm mục đích :
- Thuật toán hoá cách giải bài toán tìm cực trị.
- Củng cố khắc sâu cách giải phơng trình bậc hai.
Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, đề tại này khó trách khỏi thiếu sót. Rất
mong các bạn đồng nghiệp phê bình, góp ý.
8