SKKN - Phân loại và hướng dẫn giải bài tập tam giác đồng dạng

I. Đặt vấn đề
Trong chơng trình hình học lớp 8 THCS phần tam giác đồng dạng có 20
tiết trên tổng số 71 tiết học. Vì vậy loại toán này chiếm vị trí quan trọng trong
chơng trình cấp học. Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức ấy vào giải những bài
toán cụ thể ở học sinh còn rất nhiều hạn chế.
Trong giảng dạy tôi thấy để học sinh có thể tự minh giải đợc các bài toán
bằng việc sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng, cần giúp học sinh định hớng và
tập trung khai thác kiến thức nêu trên bằng một số ví dụ cụ thể, đề tài này mong
muốn đợc trao đổi kinh nghiệm mà bản thân tôi đã rút ra trong quá trình giảng
dạy ở phân môn hình học lớp 8, việc khai thác và vận dụng kiến thức tam giác
đồng dạng để giải.
Các ví dụ và cách giải ở bài viết này chỉ là những ví dụ có tính minh họa
cho vấn đề đã nêu còn có nhiều cách giải khác có thể hay hơn, xin dành lại cho
các bạn đọc.
II. Nôi dung:
Các bài toán về tam giác đồng dạng tập trung 3 dạng toán chủ yếu sau:
1- Các bài toán về tính toán.
2- Các bài tóa về chứng minh.
3- Các bài toán khác.
Sau đây là 11 ví dụ thể hiện ở các dạng nêu trên. Ngoài ra bạn đọc còn có
thể tự giải bài tập theo kiến thức này.
1. Các bài toán về tính toán:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 12cm; AC = 15cm; BC = 18 cm. Trên
cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm; trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm. Tính
độ dài đoạn thẳng MN
Giải
Xét ABC và ANM
Ta có =
Nên
Mặt khác có A chung của hai tam giác nên
ABC ANM (c-g-c)
Ta có hay MN = = 12 (cm)
Ví dụ 2: Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm; CD = 16cm và
BD = 8cm, góc ADB bằng 40
O
. Tính số đo góc C của hình thang.
Giải:
1
18cm
12cm
15cm
A
B C
M
N
8cm
10cm
S
Xét ABD và BDC có
AB//CD ABD = BCD (so le)
=
=
= =
Vậy ABD BDC (g.c.g) ABD = BCD = 40
O
hay C = 40
O
.
Ví dụ 3: Tam giác vuông ABC (A = 90
O
) có đờng cao AH và trung tuyến
AM. Tính diện tích tam giác AMH, biết rằng BH = 4cm, CH = 9cm.
Giải:
Xét hai tam giác vuông
HBA và HAC
Ta có BAH = ACH
(Góc có cạnh tơng
ứng vuông góc)
Nên HBA HAC
HA
2
= HB.HC = 4.9 = 36
AH = 6(cm)
Mặt khác AM là trung tuyến của ABC BM = = 6,5(cm)
HM = 6,5 - 4 = 2,5 (cm)
Vậy S

AHM
= AH. HM = . 6.2,5 = 6,5 (cm
2
)
2. Các bài toán chứng minh:
Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90
O
), AB = 6cm,
CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD đặt đoạn thẳng AE = 8cm. Chứng minh
BEC = 90
O
.
Giải:
Xét hai tam giác vuông ABE và DEC
Ta có DE = AD - AE = 17-8=9(cm)
Từ đó ta có (vì )
2
S
D C
B
A
16cm
4cm
40
O
8
A
C
B
H M
4
9
D
C
B
A
E
12
6
17
S
Vậy ABE DEC
Do đó: AEB = DCE (1)
ABE = DEC (2)
Từ (1) và (2) AEB + DEC = 90
O
nên BEC = 90
O
.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm; BC = 6cm. Kẻ tia
Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đờng thẳng BC). Lấy
trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm . Chứng minh rằng BD//AC.
Giải:
Xét hai tam giác vuông
ABC và CDB có
(vì )
Suy ra ABC CDB
Và do đó có các góc
tơng ứng bằgn nhau CBD = ACB
Vậy BD// AC (vì có hai góc so le trong bằng nhau)
Ví dụ 6: Trong lục giác lồi ABCDEF, các góc ở đỉnh A, C, E bằng
nhau và ABF = CBD, AFB = EFD. Chứng minh rằng nếu A' là điểm đối
xứng của A qua BF và không nằm trên đờng thẳng CE thì ACDE là hình
bình hành.
Giải:
EDF A'BF vì có
DEF = BA'F (= BAF)
và EFD = A'FB (= AFB)
Do đó (1)
Ta lại có: A'FE = EFB -A'FB
= EFB - EFD = DFB (2)
Từ (1) và (2) suy ra A'EF BDF (c.g.c)
Chứng minh tơng tự BCA' BDF
Nên A'EF BCA' (tính chất bắc cầu)
3
B
D
CA
4
6
9
x
E
D
F
A
B
C
A'
S
S
S
S
S
S
Suy ra: vậy A'C = DE (3)
Tơng tự ta có A'E = CD (4)
Từ (3) và (4) ta kết luận: ACDE là hình bình hành.
Ví dụ7: Chứng minh rằng trung điểm hai đáy của một hình thang, giao
điểm hai đờng chéo và giao điểm hai cạnh bên kéo dài của hình thang đó thẳng
hàng.
Giải:
Trong hình vẽ bên ta phải
chứng minh bốn điểm
H,E,G,F thẳng hàng
Nối EG, FG ta đợc
ADG CBG (g.g)
Hay (1)
Ta lại có EAG = FCG (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) AEG CFG (c.g.c)
Nên AGE = CGF . Vậy E, G, F thẳng hàng (3)
Nối EH, FH. Chứng minh tơng tự trên ta đợc AEH BFH AHE =
BHF
Vậy H, E, F thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) ta kết luận H, E, G, F thẳng hàng.
Ví dụ 8: Tam giác ABC có ba đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại H.
Chứng minh rằng: AH. DH = BH . EH = CH . FH.
Giải:
Ta có tam giác AFH và
tam giác CDH là hai tam giác
vuông có AHF = CHD vì
hai góc đối đỉnh
Nên AFH CDH (g.g)
AH. DH = CH.FH (1)
Chứng minh tơng tự ta có BFH CEH
BH. EH = CH.FH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH.DH = BH.EH = CH .FH
4
S
C
B
F
A
D
H
E
G
S
S
C
B
D
F
E
A
H
S
S
Ví dụ 9: Lấy điểm M trên đờng chéo AC của tứ giác ABCD có B=D = 90
O
, kẻ
MN BC (NBC) và MPAD (PAD). Chứng minh
Giải:
Vì AB BC (gt)
MNBC (gt)
Nên MN//AB
CNM CBA (1)
Ta có MP//CD nên AMP ACD
(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc:
Vậy
3. Các bài toán khác:
Ví dụ 10: Dựng tam giác ABC biết B = 60
O
; C = 40
O
và đờng cao AH =h.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng AB'C' có B' =60
O
C' = 40
O
- Vẽ đờng cao AH'
- Trên tia AH' lấy điểm H
sao cho AH = h
- Dựng đờng thẳng d đi qua H và song song với
B'C cắt AB' và AC' lần lợt ở B,C
ABC là tam giác cần dựng
Chứng minh: Theo cách dựng có AB//B'C'
ABC AB'C' B = B' = 60
O
; C =C' = 40
O
AH' B'C' AHBC và AH = H
Phần còn lại ngời đọc tự giải tiếp
5
S
S
D
C
B
N
A
M
S
A
C
C'
H'
B'
B
H
d
h
60
O
40
O