Bài tập Cấp số Cộng- Cấp Số Nhân

Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến
CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN - BÀI TẬP ÁP DỤNG
(2 tiết)
A. MỤC TIÊU:
+ Về kiến thức : Giúp học sinh :
- Nắm vững khái niệm CSC, CSN.
- Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một CSC, CSN.;
- Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu
tiên của một CSN,CSC.
+ Về kĩ năng : Giúp học sinh :
- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một CSC, CSN.
- Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một CSC,
CSN trong các trường hợp không phức tạp ;
- Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên
quan đến CSC, CSN ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống .
+ Về tư duy và thái độ :
Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi .
B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY & TRÒ:
- Giáo viên : SGK , phiếu học tập.
- Học sinh : Xem lại bài CSC, CSN, SGK , dụng cụ học tập .
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phát hiện và giải quyết vấn đề .
Bài mới:
Tiết 1:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hoạt động 1: Cấp số cộng
+ HĐTP1:Tìm n và công sai của một cấp số cộng
Bài tập1: Một CSC có số hạng thứ nhất là 5, số
hạng cuối là 45 và tổng số là 400. Tìm n và công
sai.
Cho HS các nhóm thảo luận tìm lời giải, gọi HS
đại diện lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần)

GV Nhận xét, bổ sung và nêu lời giải đúng
(nếu HS không trình bày đúng lời giải)
+ HĐTP2: Bài tập về tìm số hạng u
k
Bài tập 2: Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4
lần lượt là -61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.
Chia nhóm thảo luận và tìm lời giải.
Gọi HS đại diện lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần)

HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải.
HS đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải
thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và nêu kết quả:
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
2
2
2
2.400
16
5 45
8
1
1 3
n
n n n
n
n
n
n
n u u
S S n u u
S
n
u u
u u
u u n d d
n
+
= ⇔ = +
⇔ = = =
+ +

= + − ⇔ = =

HS thảo luận để tìm lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Trường THPT Đức Trí 1 Năm học: 2008-2009
Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV nhận xét và nêu lời giải chính xác (nếu
HS không trình bày đúng)
( )
1
54 1
4 1
1
23 1
1
53 (1)
3 (2)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (1), (2) ta ®­îc :
143 5
,
2 2
33
22
2
n
u u n d
u u d
u u d
u d
u u d
= + −
⇔ = +
⇔ = +
= =−
⇒ = + =
+ HĐTP 3: Tìm các số hạng còn lại của một cấp
số cộng khi biết số hạng đầu và số hạng cuối…
Bài tập 3: Chèn 20 số vào giữa số 4 và 67, biết
rằng dãy số đó là một CSC.
Chia nhóm thảo luận tìm lời giải.
Gọi HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời
giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần)
GV nêu nhận xét, và trình bày lời giải đúng
(nếu HS không trình bày đúng lời giải)
+ HĐTP 4: (Bài tập về tính tổng của n số hạng
đầu của một cấp số cộng)
Bài tập 4: Tìm tổng của một cấp số cộng gồm
các số
1 3
5 ,6 ,8...
2 4
đến số hạng thứ 17.
Chia nhóm thảo luận tìm lời giải.
Gọi HS đại diện lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời giải chính xác (nếu
HS không trình bày đúng lời giải)
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải.
HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời giải
(có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Ta xem số 4 là số hạng đầu và số 67 như là số
hạng cuối. Như vậy cấp số cộng phải tìm có tất cả 22
số hạng.
( )
= + −
⇔ = +
⇔ =
1
Do 1
67 4 21
3
n
u u n d
d
d
Vậy cấp số cộng được tạo thành là: 4, 7, 10, … , 61,
64, 67 và 20 số cần chèn là: 7, 10, 13, …, 58, 61, 64.
HS thảo luận theo nhóm để tìm lời giải và cử
đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
( )
( )
 

= +
 
 
 

⇔ = + =
 
 
1
1
Do S
2
17 1
1 5 263
17 5 .
2 2 4 2
n
n
n d
n u
S
Tiết 2
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hoạt động 2: Cấp số nhân
+ HĐTP 5: Chèn các số vào giữa hai số đã cho
của một cấp số nhân.
Bài tập 1: Hãy chèn 4 số của một cấp số nhân
vào giữa hai số 160 và 5.
Chia nhóm thảo luận để tìm lời giải.
Gọi HS đại diện lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần).
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải.
HS đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải
thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
Ta xem số 160 như là số hạng đầu và số 5 như là số
hạng thứ 6 của một cấp số nhân.
Ta có:
5
6 1
.u u q
=
Trường THPT Đức Trí 2 Năm học: 2008-2009
Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV nhận xét và nêu lời giải chính xác (nếu HS
không trình bày đúng lời giải)
+ HĐTP 6: Tính tổng của n số hạng của một
cấp số nhân.
Bài tập 2: Tìm tổng của một cấp số nhân gồm 7
số hạng mà các số hạng đầu là:
2 3
, 1, ,...
3 2

(hoặc
phát phiếu HT)
Chia nhóm để tìm lời giải.
Gọi HS đại diện nhóm lên bảng trình lời
giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần)
GV nhận xét và trình bày lời giải chính xác
(nếu HS không trình bày đúng lời giải)
5
6 6
5
5
1 1
5
5
1
32
1 1
=
2 2
u u
q q
u u
⇔ = ⇒ = =
=
Suy ra các số hạng của cấp số nhân là:
160, 80, 40, 20, 10, 5
Vậy các số cần chèn là: 80, 40, 20. 10.
HS thỏa luận theo nhóm để tìm lời giải và cử
đại diện lên bảng trình bày lời giải.
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
Cấp số nhân có công bội là:

3
2
q
= −
. Ta có:
1
7
7
1

1
3
1
2 463
2
.
3
3 96
1
2
n
n
q
S u
q
S

=

 
− −
 ÷
 
⇒ =
+
+ HĐTP 7: Bài tập về tìm các số hạng của một
cấp số nhân khi biết tổng và tích của các số đó.
Bài tập 3: Tìm 3 số hạng của một cấp số nhân
mà tổng số là 19 và tích là 216.
Thảo luận theo nhóm và gọi HS đại diện
nhóm lên bảng trình bày.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần)
GV nhận xét và nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng lời giải)
+ HĐTP 5: Bài tập về tìm số hạng đầu của một
cấp số nhân khi biết công bội, tổng và số hạng
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và cử
đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Giải:
Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân là:
, , ( « )
a
a aq víi q lµ c ng béi
q
Theo giả thiết ta có:
. . 216 (1)
19 (2)
a
a aq
q
a
a aq
q

=




+ + =


Từ (1) ta có a = 6. Thay vào (2) ta được:
6q
2
- 13q + 6 = 0
3 2
hoÆc
2 3
q q
⇔ = =
Vậy 3 số hạng cần tìm là:
4, 6, 9 hay 9, 6, 4.
Trường THPT Đức Trí 3 Năm học: 2008-2009
Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
cuối.
Bài tập 4: Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân
biết rằng công bội là 3, tổng số là 728 và số hạng
cuối là 486.
Chia nhóm thảo luận để tìm lời giải.
GV gọi HS đại diện nhóm lên bảng trình
bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và nêu lời giải dúng
i(nếu HS không trình bày đúng lời giải).
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và cử
đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:




=

= ⇒ =

⇒ =

1
1
1 1
1
1
1
(1)
1
.
1
µo (1) . (2)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
S u
q
u
u u q u
q
u
q
Thay v S
q q
Theo giải thiết S
n
=728, u
n
=486,q=3
( )




⇒ =

⇔ = = =
⇔ − = ⇔ =
⇒ = = = =
1
1 5
1
1 5
486 1 3
2 728 .
3 1 3
486
3 243 3
2
1 5 6
486 486
u 2
3 243
n
n
n
n
n
n n
u
q
*Áp dụng giải bài tập sau:
Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7 số hạng cuối là 448 và tổng số các số
hạng là 889.
Có bao nhiêu số của một cấp số cộng -9; -6; -3; … để tổng số các số này là 66.
* Rút kinh nghiệm sau tiết dạy:
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Trường THPT Đức Trí 4 Năm học: 2008-2009
Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến
Lý Thuyết
DÃY SỐ-CẤP SỐ CÔNG, CẤP SỐ NHÂN.
1) Dãy số tăng, dãy số giảm.
Dãy số
( )
n
u
đgl dãy số tăng nếu ta có
*
1n n
u u n N
+
> ∀ ∈
Dãy số
( )
n
u
đgl dãy số giảm nếu ta có
*
1n n
u u n N
+
< ∀ ∈
Dãy số tăng, dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu
2) Dãy số bị chặn.
Dãy số vô hạn
( )
n
u
được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
*,
n
n N u M∀ ∈ ≤
Dãy số vô hạn
( )
n
u
được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
*,
n
n N u m∀ ∈ ≥
Dãy số vô hạn
( )
n
u
được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Nghĩa là
tồn tại hai số M,m sao cho
*,
n
n N m u M∀ ∈ ≤ ≤
3) Cấp số công, cấp số nhân.
Cấp số công Cấp số nhân
1) Định nghĩa
( )
1
l CSC n 2, u
n n n
u à u d

⇔ ∀ ≥ = +
d đgl công sai của cấp số cộng
( )
1
l CSN n 2, u .
n n n
u à u q

⇔ ∀ ≥ =
q đgl công bội của cấp số nhân
2) TC của 3 số hạng liên
tiếp.

1 1
2
2
k k
k
u u
u k
− +
+
= ≥

1 1
. 2
k k k
u u u k
− +
= ≥
3) Số hạng tổng quát

( )
1
1 .
n
u u n d= + −

1
1
.
n
n
u u q

=
4) Tổng n số hạng đầu
tiên

( )
1
.
1
2
n
n
n u u
S n
+
= ∀ ≥

Hoặc
( )
( )
1
. 2 1 .
1
2
n
n u n d
S n
+ −
= ∀ ≥

1
1, . 1
n
q S n u n= = ∀ ≥

1
1
1, . , 1
1
n
n
q
q S u n
q

≠ = ∀ ≥

4) Bài tập tự luận
Câu 1: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi công thức
( )
1
1
1
1
1 .2
n
n n
u
n
u u n
+
=


∀ ≥

= +


. Chứng minh rằng:
Trường THPT Đức Trí 5 Năm học: 2008-2009