Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1

CHUYÊN ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A. LÝ THUYẾT
I. Tọa độ
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị
,ij

1ij
.
2.
1 2 1 2
; aa a a a i a j
; M(x;y)
OM xi y j

3. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ), ( '; ')u x y v x y

a.
'; 'u v x x y y
b.
'; 'u v x x y y
c.
( ; )ku kx ky

d.
. ' 'uv xx yy
e.
' ' 0u v xx yy
f.
22
u x y

g.
cos ,
.
.
uv
uv
uv
.
4. Tọa độ của điểm: cho A(x
A
;y
A
), B(x
B
;y
B
)
a.
;
B A B A
AB x x y y
b.
22
B A B A
AB x x y y

c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x
G
=
3
A B C
xxx
; y
G
=
3
A B C
yyy

d. M chia AB theo tỉ số k:
;
11
A B A B
MM
x kx y ky
xy
kk

Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
;.
22
A B A B
MM
x x y y
x y

II. Phƣơng trình đƣờng thẳng
1. Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm M(x
0
;y
0
) và một vectơ pháp tuyến
;n A B
hoặc
một vectơ chỉ phương
;a a b

Phương trình tổng quát
00
00A x x y y Ax By C
.
Phương trình tham số:
0
0
x x at
y y bt
,
tR
.
Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k:
00
y k x x y
.
2. Khoảng cách từ một điểm M(x
M
;y
M
) đến một đường thẳng :
0Ax By C
là:
22
,
MM
Ax By C
dM
AB
.
III. Phƣơng trình đƣờng tròn
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.
Phương trình:
Dạng 1:
22
2
x a y b r
.
Dạng 2:
22
2 2 0x y ax by d
, điều kiện
22
0abd

22
r a b d
.
a
n

(C)
r

I
M

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
2
2. Điều kiện để đường thẳng :
0Ax By C
tiếp xúc với đường tròn (C) là:
22
,
Aa Ba C
d I r
AB

IV. Ba đƣờng conic
Elip
1. Phương trình chính tắc:
22
22
1
xy
ab
, (a>b>0).
2. Các yếu tố:
2 2 2
c a b
, c>0.
Tiêu cự: F
1
F
2
=2c; Độ dài trục lớn A
1
A
2
=2a Độ dài trục bé B
1
B
2
=2b.
Hai tiêu điểm
12
;0 , ;0F c F c
.
Bốn đỉnh: đỉnh trên trục lớn
12
;0 , ;0A a A a
,
đỉnh trên trục bé
12
0; , 0;B b B b
.
Bán kính qua tiêu điểm:
1 1 2 2
;
MM
MF r a ex MF r a ex

Tâm sai:
1
c
e
a

Đường chuẩn:
a
x
e

Khoảng cách giữa hai đường chuẩn:
2
a
d
e
.
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A
2
a
2
+B
2
b
2
=C
2
.
Hyperbol
1. Phương trình chính tắc:
22
22
1
xy
ab
, (a>0, b>0).
2. Các yếu tố:
2 2 2
c a b
, c>0.
Tiêu cự: F
1
F
2
=2c; Độ dài trục thực A
1
A
2
=2a Độ dài trục ảo B
1
B
2
=2b.
Hai tiêu điểm
12
;0 , ;0F c F c
.
Hai đỉnh: đỉnh trên trục thực
12
;0 , ;0A a A a
,
Hai đường tiệm cận:
b
yx
a

Tâm sai:
1
c
e
a

Đường chuẩn:
a
x
e

Khoảng cách giữa hai đường chuẩn:
2
a
d
e

3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A
2
a
2
B
2
b
2
=C
2
.
x
y
F
2
F
1
B
2
B
1
A
2
A
1
O
M
y=
b
a
x
y=-
b
a
x
B
1
B
2
A
2
F
2
A
1
F
1
O
y
x

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
3

Parabol
1. Phương trình chính tắc:
2
2y px
, (p>0 gọi là tham số tiêu).
2. Các yếu tố:
Một tiêu điểm
;0
2
p
F
, đường chuẩn
2
p
x


B. BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Trong mặt phẳng Oxy, tìm phương trình đường tròn có tâm I(1;0) và tiếp xúc với đường thẳng (D)
3x–4y + 12 = 0.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) nhận Ox làm trục đối xứng, đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm
22;2M
.
a. Lập phương trình của (P).
b. Đường thẳng (D) đi qua điểm E(2;0), song song với đường thẳng:
012 yx
và cắt (P) tại
hai điểm
21
,FF
. Xác định tọa độ của
21
,FF
.
c. Tính diện tích của tam giác có một đỉnh nằm trên đường chuẩn của (P), còn hai đỉnh kia là hai
đầu dây đi qua tiêu điểm và song song với trục Oy.
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) với đường thẳng (D).
3. Trong mặt phẳng cho Elip:
.144169
22
yx

a. Tìm các tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của Elip.
b. Lập phương trình của Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm
bên phải của Elip đã cho.
4. Trong mặt phẳng Oxy cho Hyberbol (H) :
.1
45
22
yx

a. Tìm tâm sai và các tiệm cận của (H).
b. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) đi qua điểm
4;5M
.
5. Trong mpOxy cho cho Parabol (P) có phuơng trình :
xy 8
2
.
a. Tìm tọa độ của tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P).
b. Chứng minh rằng với mọi
0k
đường thẳng :
02kykx
luôn luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt.
6. Trong mpOxy cho ba điểm
.0;2,1;1),1;0( CBA

a. Tìm tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và viết phương trình đường tròn đó.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ
I.
7. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(3;0) và đường thẳng (D) có phương trình 3x–4y+16=0.
a. Tính khoảng cách từ điểm F tới (D). Suy ra phương trình đường tròn có tâm là F và tiếp xúc với
(D).
b. Viết phương trình của parabol (P) có tiêu điểm là F và có đỉnh là gốc tọa độ O.
c. Chứng tỏ rằng (P) tiếp xúc với (D), tìm tọa độ tiếp điểm.
8. Trong mặt phẳng Oxy cho Elip :
225259
22
yx
.
a. Viết phương trình chính tắc và xác định các tiêu điểm, tâm sai của Elip.
b. Một đường tròn (C) có tâm I(0;1) và đi qua điểm A(4;2). Viết phương trình của đường tròn và
chứng tỏ rằng (C) đi qua hai tiêu điểm của Elip.
9. Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E):
123
22
yx
.
a. Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm và tâm sai của Elip (E).
b. Cho đường thẳng (D) có phương trình:
093ymx
. Tính m để (D) tiếp xúc với (E).
B
2
F
2
y
x
O

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
4
c. Viết phương trình của Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm là tiêu điểm bên trái
của Elip đã cho.
10. Trong mpOxy cho đường thẳng (D) có phương trình :
0234 yx
và F(2;0)
a. Viết phương trình Parabol (P) nhận F làm tiêu điểm và đỉnh là gốc tọa độ.
b. Tìm khỏang cách từ F đến đường thẳng (D). Tìm tọa độ tiếp điểm.
11. Trong mpOxy cho Elip (E) có phương trình :
0225259
22
yx
.
a. Tìm tọa độ tiêu điểm và tâm sai của (E).
b. Viết phương trình đường thẳng (D
1
) qua F
1
và có hệ số góc k = 1 và (D
2
) qua F
2
và có hệ số góc
k= 1. Chứng tỏ (D
1
) (D
2
).
c. Viết phương trình đường tròn tâm F
2
qua giao điểm của hai đường thẳng (D
1
) và (D
2
). Từ đó suy
ra (D
1
) tiếp xúc với đường tròn.
12. Trong mpOxy cho F(0;3) và đường thẳng (D) :
01643 yx
.
a. Lập phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (D).
b. Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F và có đỉnh là gốc tọa độ. Chứng tỏ rằng (P) tiếp
xúc với (D). Tìm tọa độ tiếp điểm.
13. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường Hypebol với phương trình :
3x
2
– y
2
= 12.
a. Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tâm sai và phương trình các đường tiệm cận của hypebol đó.
b. Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng y = kx cắt hypebol nói trên.
14. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A( 1;2), B(2;1) và C(2;5).
a. Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC. Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC.
b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC.
15. Trên mặt phẳng Oxy cho Elip có phương trình : x
2
+ 4y
2
= 4.
a. Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tâm sai của elip.
b. Đường thẳng qua 1 tiêu điểm của elíp và song song với trục Oy cắt elíp tại 2 điểm M và N. Tính
độ dài đoạn thẳng MN.
c. Tìm giá trị của k để đường thẳng y = x + k cắt elíp đã cho.
16. Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol :
.1
94
22
yx

a. Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tâm sai và các tiệm cận của hypebol. Vẽ hypebol
đã cho.
b. Tìm các giá trị của n để đường thẳng y = nx – 1 có điểm chung với hypebol.
17. Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) có phương trình 3x
2
+ 5y
2
= 30.
a. Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elíp.
b. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm F
2
(2;0) của elíp (E), song song với trục tung, cắt elíp (E) tại
2 điểm A và B. Tính khoảng các từ A và B tới tiêu điểm F
1
.
18. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B( 2;1).
a. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên trục hoành.
b. Viết phương trình chính tắc của Parabol có đỉnh là gốc tọa độ, đi qua điểm A và nhận trục hoành
làm trục đối xứng. Vẽ đường tròn và Parabol tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ.
19. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;0) và B(4;3
)2
.
a. Lập phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính. Tìm tọa độ các giao điểm của đường tròn
và trục hoành.
b. Lập phương trình chính tắc của đường Elíp đi qua A và B.
20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình :

3694
22
yx
.
a. Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của hypebol.

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
5
b. Viết phương trình chính tắc của elíp đi qua điểm
3;
2
37
M
và có chung các tiêu điểm với
hypebol đã cho.
21. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho cho đường tròn (C) có phương trình:
.026
22
yxyx

a. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b. Chứng minh rằng : Đường tròn (C) đi qua gốc tọa độ O. Gọi OA là đường kính của đường tròn,
viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A.
22. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho Elíp (E) :
.1
26
22
yx

a. Xác định tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của (E).
b. Điểm M thuộc (E) nhìn hai tiêu điểm của nó dưới một góc vuông. Viết phương trình tiếp tuyến
của (E) tại M.
23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình :

0326
22
yxyx
.
a. Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C).
b. Tìm các điểm thuộc đường tròn (C) có hoành độ x = 1 và viết phương trình tiếp tuyến tại các
điểm đó.
24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) đi qua điểm
4
9
;5M
và nhận điểm
0;5F
làm tiêu điểm
của nó.
a. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
0145 yx
.
25. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho một elip (E) có khoảng cách giữa các đường chuẩn là 36 và
các bán kính qua tiêu điểm của M nằm trên elip (E) là 9 và 15.
a. Viết phương trình chính tắc của elip (E).
b. viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) tại điểm M.
26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho Elíp (E):
22
1
25 16
xy
có hai tiêu điểm là
12
,FF
.
a. Cho điểm M(3;m) thuộc (E), hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m>0.
b. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho
12
8AF BF
. Hãy tính
21
AF BF
.
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
1. (CĐ Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C( 1; 2), đường trung
tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y 9=0 và x+3y 5=0. Tìm tọa độ các
đỉnh A và B.