Luyện thi Đại Học Chuyên đề tích phân

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Luyện thi Đại Học Chuyên đề tích phân



1

Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thƣờng gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thƣờng gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx

1
1
1
C
x
dxx

0ln xCx
x
dx

Cedxe
xx

10
ln
aC
a
a
dxa
x
x

Cxxdx sincos

Cxxdx cossin

Cxdx
x
tan
cos
1
2

Cxdx
x
cot
sin
1
2

Cbax
a
baxd
1

1
1
1
1
C
bax
a
dxbax
0ln
1
xCbax
abax
dx

Ce
a
dxe
baxbax
1

Cbax
a
dxbax sin
1
cos

Cbax
a
dxbax cos
1
sin

Cbax
a
dx
bax
tan
1
cos
1
2

Cbax
a
dx
bax
cot
1
sin
1
2

Cudu

1
1
1
C
u
duu
0ln uCu
u
du

Cedue
uu

10
ln
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu sincos

Cuudu cossin

Cudu
u
tan
cos
1
2

Cudu
u
cot
sin
1
2


I. ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bƣớc 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= Þ = = a = Þ = = b
.
Bƣớc 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
òò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
= Þ =

2
x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ =

2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
Þ = = =
ò
.
Vậy
I ln 2=
.


2
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
p
=
+
ò
.
Hƣớng dẫn:
44
3 3 2
00
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
pp
==
++
òò
. Đặt
t tan x 1=+

ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
++
ò
.
Hƣớng dẫn:
Đặt
t 2x 3=+

ĐS:
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3x
I dx
1x
-
=
+
ò
.
Hƣớng dẫn:
Đặt
3
2
22
1
3 x t dt
t8
1x
(t 1)
-

+
+
ò
L
; đặt
t tan u= L

ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3x
I dx
1x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x=+
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
()
b
a
f x dx
ta thực hiện các bước sau:
Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính
/
()dx u t dt
.
Bƣớc 2. Đổi cận:
, x a t x b t
.
Bƣớc 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1x
=
-
ò
.
Giải
Đặt
x sin t, t ; dx cos tdt
22
pp
éù
= Î - Þ =
êú
ëû

1
x 0 t 0, x t
26
p
= Þ = = Þ =

66
2
00
cos t cos t
I dt dt
cos t
1 sin t
pp
Þ = =
-
òò
6
6
0
0
dt t 0
66
p
p
pp
= = = - =
ò
.


3
Vậy
I
6
p
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx=-
ò
.
Hƣớng dẫn:
Đặt
x 2sin t=

ĐS:
I =p
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
22
æö
pp
÷
ç
= Î - Þ = +
÷
ç
÷
÷
ç
èø

x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =

44
2
2
00
tan t 1
I dt dt
4
1 tan t
pp
+p
Þ = = =
+
òò
.
Vậy
I
4
p
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
31
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
++
ò
.
Hƣớng dẫn:
3 1 3 1
22
00
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
--
==
+ + + +
òò
.
Đặt
x 1 tan t+=

ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4x
=
-
ò
.
ĐS:
I
2
p
=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
31
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
++
ò
.
ĐS:
I
12
p
=
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lƣợng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
23
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Hƣớng dẫn:
Đặt
t cosx=

ĐS:
2
I
15
=
.


4
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hƣớng dẫn:
Đặt
t sin x=

ĐS:
8
I
15
=
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
42
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
22
4 2 2 2
00
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
pp
==
òò
22
2
00
11
(1 cos 4x)dx cos2x sin 2xdx
16 4
pp
= - +
òò

22
2
00
11
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
pp
= - +
òò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
æö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
èø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx
I
cos x sin x 1
p
=
++
ò
.
Hƣớng dẫn:
Đặt
x
t tan
2
=
.
ĐS:
I ln 2=
.
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t

3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= p - Þ = -

x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ =

( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
p-
p
Þ = - = -
p - + + +
òò
00
dt dt
II
sin t 1 2 sin t 1
pp
p
= p - Þ =
++
òò

( )
( )
2
2
00
dt dt
t
tt
24
cos
sin cos
24
22
pp
pp
==
p
-
+
òò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
24
p
p
æö
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
æö
èø
p p p
÷
ç
= = - = p
÷
ç
÷
÷
ç
æö
èø
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ò
.
Vậy
I =p
.

Tổng quát:


5
00
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
pp
p
=
òò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ = -

x 0 t , x t 0
22
pp
= Þ = = Þ =

( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
22
p
p
-
Þ = -
pp
- + -
ò
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
==
+
ò
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tổng quát:
22
nn
n n n n
00
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
pp
+
p
= = Î
++
òò
Z
.
Ví dụ 17. Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò

6
2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
.
Giải
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
66
00
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3 cos x
sin x
3
pp
+ = =
p
+
+
òò

Đặt
t x dt dx
3
p
= + Þ =
1
I J ln 3
4
+=
(2).
Từ (1) và (2)
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
--
= + = -
.
Ví dụ 18. Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1x
+
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tan t dx (1 tan t)dt= Þ = +

x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =

(
)
44
2
2
00
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
pp
+
Þ = + = +
+
òò
.
Đặt
t u dt du
4
p
= - Þ = -

t 0 u , t u 0
44
pp
= Þ = = Þ =



6
0
4
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự
p


ờỳ
ị = + = - + -





ờỳ
ốứ
ởỷ
ũũ

44
00
1 tan u 2
ln 1 du ln du
1 tan u 1 tan u
pp
ổ ử ổ ử
-
ữữ
ỗỗ
= + =
ữữ
ỗỗ
ữữ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
++
ũũ

( )
44
00
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I
4
pp
p
= - + = -
ũũ
.
Vy
I ln 2
8
p
=
.
Vớ d 19. Tớnh tớch phõn
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ũ
.
Hng dn:
t
xt=-

S:
2
I
2
=
.

Tng quỏt:
Vi
a > 0
,
0a>
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on
[ ]
; - a a
thỡ
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a1
aa
-a
=
+
ũũ
.
Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn
Ă
v tha
f( x) 2f(x) cos x- + =
.
Tớnh tớch phõn
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ũ
.
Gii
t
2
2
J f( x)dx
p
p
-
=-
ũ
,
x t dx dt= - ị = -

x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - ị = = ị = -

[ ]
22
22
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
pp
pp
--
ị = - = ị = + = - +
ũũ

22
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
pp
p
-
= = =
ũũ
.
Vy
2
I
3
=
.

3.3. Cỏc kt qu cn nh


7
i/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a
a
f(x)dx 0
-
=
ũ
.
ii/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
aa
a0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ũũ
.
iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
22
nn
00
(n 1)!!
,
n !!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
.,
n !! 2
pp

-
ù
ù
ù
ù
ù
==

ù
-
p
ù
ù
ù
ù

ũũ
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.
Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =

6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Vớ d 21.
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ũ
.
Vớ d 22.
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ũ
.

II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc
Cho hai hm s
u(x), v(x)
liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú
( ) ( )
/ / / /
//
uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + ị = +

( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udvị = + ị = +
ũ ũ ũ

b b b b
bb
aa
a a a a
uv vdu udv udv uv vduị = + ị = -
ũ ũ ũ ũ
.
Cụng thc:
bb
b
a
aa
udv uv vdu=-
ũũ
(1).
Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
bb
b
//
a
aa
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx=-
ũũ
(2).
2. Phng phỏp gii toỏn
Gi s cn tớnh tớch phõn
b
a
f(x)g(x)dx
ũ
ta thc hin
Cỏch 1.
Bc 1. t
u f(x), dv g(x)dx==
(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
v(x)
v vi phõn
/
du u (x)dx=
khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu
ũ
phi tớnh c.
Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu.
c bit:

Đây là phiên bản tài liệu đơn giản

Xem phiên bản đầy đủ của tài liệu Luyện thi Đại Học Chuyên đề tích phân