Luyện tập về Bất Đẳng Thức

Tiết 44 LUYỆN TẬP (1 TIẾT)
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm bất đẳng thức (BĐT), nắm vững các tính chất của BĐT, nắm vững các BĐT về giá trị
tuyệt đối.
- Nắm vững các BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân.
2. Về kỹ năng
- Chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản.
- Tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc biểu thức.
3. Về tư duy:
Hiểu và biết cách chứng minh một BĐT, biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số
hoặc biểu thức.
4. Về ý thức:
Tự giác, nghiêm túc, có ý thức cao trong việc tự học và tự làm bài tập.
II. Chuẩn bị về phương tiện dạy học:
+ Chuẩn bị các bảng phụ;
+ Chuẩn bị các phiếu học tập để phát cho học sinh.
III. Phương pháp dạy học:
+ Gợi mở, vấn đáp;
+ Chia nhóm nhỏ học tập.
IV. Tiến trình bài học:
1. Kiểm tra bài cũ:
HĐ1: Hãy nêu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với ba số không âm? Và làm bài
tập 14 SGK/112
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN GHI BẢNG
- Nêu giữa trung bình cộng và trung
bình nhân đối với ba số không âm.
- Bài tập 14:
Ap dụng công thức trên cho ba sô
không âm:
a
c
c
b
b
a
444
,,
ta được
abc
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
3..3
3
444444
=≥++
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a = b = c.
- Nhận xét và cho điểm.
- Bài tập 14:
Ap dụng công thức trên cho ba
sô không âm:
a
c
c
b
b
a
444
,,
ta
được
abc
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
3..3
3
444444
=≥++
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a =
b = c.
2. Vào bài mới:
HĐ2: Làm bài tập 15 SGK/112 ( chia nhóm nhỏ học tập).
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN GHI BẢNG
Nhận nhiệm vụ và làm bài tập. Giao nhiệm vụ
GV yêu cầu một nhóm lên trình
bày.
Bài tập 15:
Gọi a và b theo thứ tự là độ dài
cánh tay đòn bên phải và bên trái
của cái cân đĩa (a > 0, b > 0, đơn
vị : cm). Trong lần cân đầu, khối
lượng cam được cân là
b
a
(kg).
Trong lần cân sau, khối lượng
cam được cân là
a
b
(kg).
Do đó, khối lượng cam được cân
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng
cả hai lần là






+
a
b
b
a
(kg). Nếu
hai đĩa cân đó không chính xác,
tức là a ≠ b, thì vì






+
a
b
b
a
> 2
nên khách hàng mua được nhiều
hơn 2 kg cam.
HĐ3: Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức: Làm bài tập 16 SGK/112
Ch/m rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
a)
1
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
<
+
++++
nn
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN GHI BẢNG
Nhận nhiệm vụ
a) Ta có:
2
1
1
2.1
1
−=
;
3
1
2
1
3.2
1
−=
;
4
1
3
1
4.3
1
−=
; ...;
1
11
)1(
1

−=

nnnn
Thay vào ta có:
1
11
1
1
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
<
+
=
+
−=
+
++++
n
n
n
nn
Giao nhiệm vụ
a) GV gợi ý
2
1
1
1
2.1
1
−=
Chú ý: với mọi số nguyên
dương n, ta có:
1
11
)1(
1

−=

nnnn
Gv gợi ý phương pháp giải câu
16 b)
Chú ý: với mọi số nguyên
dương n, ta có:
)1(
11
2

<
nn
n
Bài tập 16a)
Ta có:
2
1
1
2.1
1
−=
3
1
2
1
3.2
1
−=
4
1
3
1
4.3
1
−=
.....
1
11
)1(
1

−=

nnnn
Cộng vế theo vế ta có:
1
11
1
1
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
<
+
=
+
−=
+
++++
n
n
n
nn
HĐ4: Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức: Làm bài tập 18 SGK/112
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b và c,ta có
(a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
).
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN GHI BẢNG
Nhận nhiệm vụ và làm bài tập.
(a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
⇔ a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2bc + 2ca ≤
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
⇔ 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)
⇔ (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2
≥ 0.
Giao nhiệm vụ
GV yêu cầu một nhóm lên trình
bày.
Bài tập 18:
Chứng minh rằng với mọi số thực
a, b và c,ta có
(a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
).
C/m: Với mọi số thực a, b và c,ta

(a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
⇔ a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2bc + 2ca
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng
⇔ 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a
2
+ b
2
+
c
2
)
⇔ (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2
≥ 0
HĐ5: Rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc biểu thức: làm bài tập
17 SGK/112.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=
xx −+− 41
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN GHI BẢNG
Nhận nhiệm vụ
Với
22
)41( xxA −+−=
= 3 + 2
)4)(1( xx −−
≤ 3 + x - 1 + 4
- x = 6,
suy ra A ≤
6
.
Dấu bằng xảy ra khi x - 1 = 4 - x, tức
là x =
2
5
(thoả mãn điều kiện 1 ≤ x ≤
4). Vậy giá trị lớn nhất của A là
6
.
3)41(
22
≥−+−= xxA

)4)(1( xx −−
≥ 0. Vậy A ≥
3
.
A
2
= 3 khi x = 1 hoặc x = 4, nên A =
3
khi x = 1 hoặc x = 4.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
3
.
Giao nhiệm vụ Bài tập 17:
Với
22
)41( xxA −+−=
= 3 + 2
)4)(1( xx −−
≤ 3 + x -
1 + 4 - x = 6,
suy ra A ≤
6
.
Dấu bằng xảy ra khi x - 1 = 4 -
x, tức là x =
2
5
(thoả mãn điều
kiện 1 ≤ x ≤ 4). Vậy giá trị lớn
nhất của A là
6
.
3)41(
22
≥−+−= xxA

)4)(1( xx −−
≥ 0. Vậy A ≥
3
.
A
2
= 3 khi x = 1 hoặc x = 4, nên
A =
3
khi x = 1 hoặc x = 4.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
3
.
HĐ6: Mở rộng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với bốn số không âm
Làm bài tập 19SGK/112
Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì
abcd
dcba







+++
4
4
.
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN GHI BẢNG
Nhận nhiệm vụ
a + b ≥ 2
ab
và c + d ≥ 2
cd
⇒ a + b + c + d ≥ 2(
ab
+
cd
)
2
4
)(
4
cdab
dcba
+≥






+++

= ab + cd + 2
abcd
≥ 4
abcd
abcd
dcba







+++

4
4

abcd
dcba







+++
4
4
Giao nhiệm vụ
GV hướng dẫn cách chứng minh
Sử dụng bất đẳng thức giữa
trung bình cộng và trung bình
nhân đối với hai số không âm a
và b; c và d; ab và cd.
Bài tập 19
a + b ≥ 2
ab
và c + d≥2
cd
⇒ a + b + c +d≥2(
ab
+
cd
)
2
4
)(
4
cdab
dcba
+≥






+++

= ab+ cd +2
abcd
≥ 4
abcd
abcd
dcba







+++

4
4

abcd
dcba







+++
4
4
HĐ 7: Chứng minh các BĐT bài tập 20 SGK/112
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN GHI BẢNG
Nhận nhiệm vụ
a) Vì (x + y)
2
= x
2
+ y
2
+ 2xy ≤ 2(x
2
+
Giao nhiệm vụ
GV hướng dẫn cách chứng minh
Bài tập 20
a) Vì (x + y)
2
= x
2
+ y
2
+ 2xy ≤
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng
y
2
) = 2
Nên  x + y ≤ 2.
b) Vì 4x - 3y = 15 nên y =
3
4
x - 5.
Do đó, x
2
+ y
2
= x
2
+ (
3
4
x - 5)
2

= x
2
+
9
16
x
2
-
3
40
x + 25
=
9
25
x
2
-
3
40
x + 25
=
994
3
5
2
≥+






−x
Hoặc có thể làm thao cách khác
là áp dụng :
Bất đẳng thức Bunhiacốpxki với
bốn số thực.
Với bốn số thực a, b, c, d ta có
(ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
).
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi
d
c
b
a
=
.
( Chứng minh xem SGK /111)
2(x
2
+ y
2
) = 2
Nên  x + y ≤ 2.
b) Vì 4x - 3y = 15 nên y =
3
4
x -
5.
Do đó, x
2
+ y
2
= x
2
+ (
3
4
x - 5)
2

= x
2
+
9
16
x
2
-
3
40
x + 25
=
9
25
x
2
-
3
40
x + 25
=
994
3
5
2
≥+






−x
3. Củng cố:
-Nhắc lại các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số không âm, đối với ba
số không âm, và của bốn số không âm ( chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào?)
-Bài đọc thêm về Bất đẳng thức Bunhiacốpxki với bốn số thực.
4. BTVN:
-Ôn tập lại các dạng toán của bài.
-Bài tập 20 có thể làm theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki với bốn số thực. Em hãy làm lại bài 20 với áp
dụng Bất đẳng thức Bunhiacốpxki.
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng